Κυρτό - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Ο όρος κυρτό χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια επιφάνεια που δείχνει καμπυλότητα, με το κέντρο της να είναι η πλευρά με τη μεγαλύτερη προβολή.

Επομένως, λέμε ότι το εσωτερικό μιας σφαίρας ή ενός τραμπολίνο (όπως αυτό που παίζουν τα παιδιά) είναι κυρτό. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το κεντρικό τμήμα του παρουσιάζει μεγαλύτερη καθίζηση.

Είναι δυνατόν να αναλυθεί εάν τα γεωμετρικά σχήματα είναι κυρτά, για παράδειγμα, στην περίπτωση παραβολής είναι όταν έχει σχήμα U.

Ένα διδακτικό τέχνασμα για να θυμάστε την κυρτότητα είναι να σκεφτείτε ότι το σχήμα της κυρτής καμπύλης είναι αυτό ενός χαμογελαστό προσώπου.

Επιπλέον, αν και έχουμε αναφέρει την ιδιότητα της κυρτότητας ως κάτι που έχει καμπύλη, ισχύει επίσης για μαθηματικές συναρτήσεις και πολύγωνα, όπως θα δούμε παρακάτω.

Πώς να ξέρετε αν μια συνάρτηση είναι κυρτή;

Εάν το δεύτερο παράγωγο μιας συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από το μηδέν σε ένα σημείο, τότε η συνάρτηση είναι κυρτή σε αυτό το σημείο, στη γραφική της αναπαράσταση.

Τα παραπάνω, τυπικά, εκφράζονται ως εξής:

f »(x)> 0

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (x) = x² + x + 3. Το πρώτο παράγωγο f '(x) = 2x +1 και το δεύτερο παράγωγο f »(x) = 2. Επομένως, η συνάρτηση f (x) = x² Το + x + 3 είναι κυρτό για οποιαδήποτε τιμή του x, όπως βλέπουμε στην παρακάτω εικόνα, η οποία είναι παραβολή:

Τώρα ας φανταστούμε αυτήν την άλλη συνάρτηση f (x) = - x³ + x² + 3. Το πρώτο παράγωγο f '(x) = -3x² + 2x και το δεύτερο παράγωγο f »(x) = -6x + 2. Μόλις υπολογίσουμε το δεύτερο παράγωγο, πρέπει να ελέγξουμε ποιες τιμές του x, η συνάρτηση f (x) = -x³ + x² Το + 3 είναι κυρτό.

Έτσι, ορίζουμε το δεύτερο παράγωγο ίσο με 0:

f »(x) = -6x + 2 = 0

6x = 2

x = 0,33

Επομένως, η συνάρτηση είναι κυρτή όταν το x είναι μικρότερο από 0,33, καθώς το δεύτερο παράγωγο της εξίσωσης είναι θετικό. Μπορούμε να το ελέγξουμε αντικαθιστώντας διαφορετικές τιμές x. Ομοίως, η συνάρτηση γίνεται κοίλη όταν το x είναι μεγαλύτερο από 0,33, όπως μπορούμε να δούμε στο παρακάτω γράφημα.

Κυρτό πολύγωνο

Ένα κυρτό πολύγωνο είναι εκείνο που είναι αλήθεια ότι δύο σημεία, οποιοδήποτε από τα σχήματα, μπορούν να ενώνονται με μια ευθεία γραμμή που θα παραμένει πάντα μέσα στο πολύγωνο. Επίσης, όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι μικρότερες από 180º. Μπορούμε να σκεφτούμε, για παράδειγμα, ένα τετράγωνο ή ένα κανονικό οκτάγωνο.

Το αντίθετο είναι ένα κοίλο πολύγωνο. Δηλαδή, εκείνο όπου, τουλάχιστον για να ενώσετε δύο από τα σημεία του, πρέπει να σχεδιάσετε μια γραμμή που είναι, εν μέρει ή πλήρως, έξω από το σχήμα. Όπως φαίνεται στη σύγκριση που προσφέρεται παρακάτω: