Συνδιακύμανση - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Η συνδιακύμανση είναι η τιμή που αντικατοπτρίζεται από το πόσο δύο τυχαίες μεταβλητές διαφέρουν από κοινού σε σχέση με τα μέσα τους.

Μας επιτρέπει να γνωρίζουμε πώς συμπεριφέρεται μια μεταβλητή βάσει του τι κάνει μια άλλη μεταβλητή. Δηλαδή, όταν το X ανεβαίνει, πώς συμπεριφέρεται το Y; Έτσι, η συνδιακύμανση μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές:

Η συνδιακύμανση (X, Y) είναι μικρότερη από το μηδέν όταν το "X" ανεβαίνει και το "Y" κατεβαίνει. Υπάρχει μια αρνητική σχέση.

Η συνδιακύμανση (X, Y) είναι μεγαλύτερη από το μηδέν όταν το "X" ανεβαίνει και το "Y" αυξάνεται. Υπάρχει μια θετική σχέση.

Η συνδιακύμανση (X, Y) είναι ίση με το μηδέν όταν δεν υπάρχει σχέση μεταξύ των μεταβλητών "X" και "Y".

Υπολογισμός της συνδιακύμανσης

Ο τύπος συνδιακύμανσης εκφράζεται ως εξής:

Όπου το y με την έμφαση είναι ο μέσος όρος της μεταβλητής Y, και το x με την έμφαση είναι ο μέσος όρος της μεταβλητής X. "i" είναι η θέση της παρατήρησης και "n" ο συνολικός αριθμός των παρατηρήσεων.

Εναλλακτικά, όταν οι απόλυτες συχνότητες δεν είναι ενιαίες (δηλαδή, τα ζεύγη i, j επαναλαμβάνονται τουλάχιστον μία φορά) ο εφαρμοστέος τύπος είναι ο ακόλουθος:

Ιδιότητες συνδιακύμανσης

Όταν εργάζεστε με αυτό, πρέπει να λαμβάνονται υπόψη οι ιδιότητες που έχει και που συνάγονται από τον ορισμό της συνδιακύμανσης:

• Cov (X, b) = 0, όπου το b σε αυτήν την περίπτωση είναι μια σταθερά.
• Cov (X, X) = Var (X), δηλαδή, η συνδιακύμανση μιας μεταβλητής και από μόνη της είναι ίση με τη διακύμανση της μεταβλητής.
• Cov (X, Y) = Cov (Y, X) η συνδιακύμανση είναι η ίδια, ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία τα βάζουμε.
• Cov (bX, cY) = c · b · Cov (X, Y) όπου b και c είναι δύο σταθερές. Η συνδιακύμανση δύο μεταβλητών πολλαπλασιαζόμενη με οποιαδήποτε σταθερά ισούται με τη συνδιακύμανση των δύο μεταβλητών πολλαπλασιαζόμενη με τον πολλαπλασιασμό των σταθερών.
• Cov (b + X, c + Y) = Cov (X, Y) η προσθήκη δύο σταθερών σε κάθε μεταβλητή δεν επηρεάζει τη συνδιακύμανση.
• Cov (X, Y) = E (X · Y) - E (X) · E (Y) ή τι είναι το ίδιο, η συνδιακύμανση ισούται με την προσδοκία του προϊόντος των δύο μεταβλητών μείον το προϊόν των δύο προσδοκιών ξεχωριστά.

Επέκταση των προηγούμενων ιδιοτήτων, στην περίπτωση που δύο μεταβλητές είναι ανεξάρτητες. Δηλαδή, δεν έχουν καμία στατιστική σχέση, είναι αλήθεια ότι:

E (X · Y) = E (X) · E (Y)

Με άλλα λόγια, η προσδοκία του προϊόντος δύο μεταβλητών είναι ίση με το προϊόν των δύο ξεχωριστών προσδοκιών των εν λόγω μεταβλητών.

Τάξη

Παράδειγμα συνδιακύμανσης

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα ακόλουθα δεδομένα για X και Y.

Πώς ερμηνεύουμε αυτό το αποτέλεσμα;

Αυτό το 4 μας λέει, ότι είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, ότι αυτές οι δύο μεταβλητές έχουν θετική σχέση. Για να γνωρίζουμε την προσαρμοσμένη σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών, πρέπει να υπολογίσουμε τη γραμμική συσχέτιση. Δύο συνδιακύμανση διαφορετικών μεταβλητών δεν είναι συγκρίσιμες, καθώς η τιμή της συνδιακύμανσης είναι μια απόλυτη τιμή που εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης των μεταβλητών.

Συντελεστής γραμμικής συσχέτισηςΜαθηματική ελπίδα