Ο Ιάπωνος μαθηματικός Kiyoshi Ito εξέφρασε τον αλυσιδωτό κανόνα του στοχαστικού λογισμού το 1951, γνωστοποιώντας έτσι το διάσημο σύνθημα που φέρει το όνομά του.
Ο στοχαστικός λογισμός ορίζει το αντίστοιχο του ντετερμινιστικού λογισμού Newton-Leibniz για τυχαίες συναρτήσεις.
Στην πραγματικότητα, ο στοχαστικός λογισμός της Ito είναι ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία στα σύγχρονα χρηματοοικονομικά μαθηματικά, πάνω στα οποία στηρίζεται σχεδόν όλη η οικονομική θεωρία και η οικονομική ανάλυση συνεχούς χρόνου.
Το σύνθημα του Ito στα οικονομικά
Ειδικότερα, στο χρηματιστήριο, ο όρος στοχαστικό αναφέρεται σε μεταβολές στις τιμές κλεισίματος. Με άλλα λόγια, οι έμποροι χρησιμοποιούν στοχαστική ανάλυση για να αποφασίσουν πότε να αγοράσουν και να πουλήσουν τίτλους.
Η παραδοχή σας είναι ότι όταν η τρέχουσα τιμή κλεισίματος μιας μετοχής είναι κοντά στην προηγούμενη χαμηλή ή υψηλή τιμή, τότε η τιμή της επόμενης ημέρας δεν θα είναι δραστικά υψηλότερη ή χαμηλότερη, αντίστοιχα.
Από αυτή την οπτική γωνία, το σύνθημα του Ito χρησιμοποιείται συχνά για να αντλήσει τη στοχαστική διαδικασία ακολουθούμενη από την τιμή μιας παράγωγης ασφάλειας. Για παράδειγμα, εάν το υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο (το υποκείμενο είναι η πηγή από την οποία προέρχεται η αξία του χρηματοοικονομικού μέσου) ακολουθεί τη γεωμετρική κίνηση του Μπράουν, τότε το ιαπωνικό σύνθημα αποδεικνύει ότι μια παράγωγη ασφάλεια - η τιμή της οποίας είναι συνάρτηση της υποκείμενης τιμής και του χρόνου - ακολουθεί επίσης τη γεωμετρική κίνηση του Μπράουν.
Brownian κίνηση και το σύνθημα του Ito
Για καλύτερη κατανόηση αυτής της θεωρίας, πρέπει πρώτα να θυμόμαστε τι είναι η κίνηση του Μπράουν: είναι η τυχαία μετατόπιση (κατά τύχη) που παρατηρείται σε ορισμένα μικροσκοπικά σωματίδια όταν βρίσκονται σε υγρό μέσο, σε υγρό.
Ήταν ο Σκωτσέζος Ρόμπερτ Μπράουν (στον οποίο οφείλει το όνομά του) ο βιολόγος που ανακάλυψε το φαινόμενο το 1827, αλλά η μαθηματική του περιγραφή εκπονήθηκε από τον Άλμπερτ Αϊνστάιν, αν και πολλά χρόνια αργότερα, το 1905. Ωστόσο, ως αποτέλεσμα αυτής της επίδειξης, ο Ο διάσημος Νόμπελ Γερμανός άνοιξε τις πόρτες της ατομικής θεωρίας και ξεκίνησε το πεδίο της στατιστικής φυσικής.
Τούτου λεχθέντος, η σχέση της αρχής του Μπράουν με το λήμμα του Ito εξηγείται ως εξής → Εάν δύο τιμές έχουν την ίδια πηγή κινδύνου, ένας κατάλληλος συνδυασμός των δύο τιμών μπορεί να εξαλείψει αυτόν τον κίνδυνο. Έτσι, καταρχήν, δημιουργήθηκαν χρηματοοικονομικά παράγωγα για τον περιορισμό αυτών των κινδύνων.
Επιπλέον, αυτό το αποτέλεσμα οδήγησε στην ανάπτυξη του μαθηματικού μοντέλου Black-Scholes-Merton (το πρώτο πλήρες αναλυτικό δείγμα που αξιολόγησε τις επιλογές) και πολλές σύγχρονες θεωρίες και εφαρμογές κάλυψης.
