Διωνυμική κατανομή - Τι είναι, ορισμός και έννοια
Μια διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή κατανομή πιθανότητας που περιγράφει τον αριθμό των επιτυχιών κατά τη διεξαγωγή n ανεξάρτητων πειραμάτων σε μια τυχαία μεταβλητή..
Υπάρχει μια μεγάλη ποικιλία πειραμάτων ή συμβάντων που μπορούν να χαρακτηριστούν υπό αυτήν την κατανομή πιθανότητας. Φανταστείτε μια ρίψη νομισμάτων στην οποία ορίζουμε το γεγονός "χτύπημα κεφαλών" ως επιτυχία. Εάν πετάμε το νόμισμα 5 φορές και μετρήσουμε τα χτυπήματα (κεφάλια) που παίρνουμε, η κατανομή πιθανότητας θα ταιριάζει με μια διωνυμική κατανομή.
Ως εκ τούτου, η διωνυμική κατανομή νοείται ως μια σειρά δοκιμών ή δοκιμών στις οποίες μπορούμε να έχουμε μόνο 2 αποτελέσματα (επιτυχία ή αποτυχία), με επιτυχία η τυχαία μεταβλητή μας.
Ιδιότητες της διωνυμικής κατανομής
Για μια τυχαία μεταβλητή που θεωρείται ότι ακολουθεί μια διωνυμική κατανομή, πρέπει να πληροί τις ακόλουθες ιδιότητες:
- Σε κάθε δοκιμή, πείραμα ή δοκιμή, μόνο δύο αποτελέσματα (επιτυχία ή αποτυχία) είναι πιθανά.
- Η πιθανότητα επιτυχίας πρέπει να είναι σταθερή. Αυτό αντιπροσωπεύεται από το γράμμα σ. Η πιθανότητα μιας κεφαλής ανατροπής νομίσματος είναι 0,5 και αυτό είναι σταθερό αφού το νόμισμα δεν αλλάζει σε κάθε πείραμα και οι πιθανότητες κεφαλών είναι σταθερές.
- Η πιθανότητα αποτυχίας πρέπει επίσης να είναι σταθερή. Αυτό αντιπροσωπεύεται από το γράμμα q = 1-p. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι μέσω αυτής της εξίσωσης, γνωρίζοντας το p ή γνωρίζοντας το q, μπορούμε να αποκτήσουμε αυτό που μας λείπει.
- Το αποτέλεσμα που λαμβάνεται σε κάθε πείραμα είναι ανεξάρτητο από το προηγούμενο. Επομένως, αυτό που συμβαίνει σε κάθε πείραμα δεν επηρεάζει τα ακόλουθα.
- Τα γεγονότα είναι αμοιβαία αποκλειστικά, δηλαδή δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα. Δεν είναι δυνατόν να είσαι άνδρας και γυναίκα ταυτόχρονα ή ότι όταν πετάς ένα κέρμα θα βγει ταυτόχρονα κεφάλια και ουρές.
- Τα γεγονότα είναι συλλογικά εξαντλητικά, δηλαδή τουλάχιστον ένα από τα 2 πρέπει να συμβεί. Εάν δεν είστε άντρας, είστε γυναίκα και, αν πετάξετε ένα νόμισμα, αν δεν εμφανιστεί το κεφάλι, πρέπει να είναι ουρές.
- Η τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί μια διωνυμική κατανομή αντιπροσωπεύεται συνήθως ως X ~ (n, p), όπου το n αντιπροσωπεύει τον αριθμό των δοκιμών ή πειραμάτων και p την πιθανότητα επιτυχίας.
Τύπος της διωνυμικής κατανομής
Ο τύπος για τον υπολογισμό της κανονικής κατανομής είναι:
Οπου:
n = Αριθμός δοκιμών / πειραμάτων
x = Αριθμός επιτυχιών
p = Πιθανότητα επιτυχίας
q = Πιθανότητα αποτυχίας (1-p)
Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η έκφραση σε αγκύλες δεν είναι μια έκφραση μήτρας, αλλά είναι αποτέλεσμα ενός συνδυασμού χωρίς επανάληψη. Αυτό επιτυγχάνεται με τον ακόλουθο τύπο:
Το θαυμαστικό στην προηγούμενη έκφραση αντιπροσωπεύει το παραγοντικό σύμβολο.
Παράδειγμα διωνυμικής διανομής
Ας φανταστούμε ότι το 80% των ανθρώπων στον κόσμο έχουν δει τον τελικό αγώνα του τελευταίου Παγκόσμιου Κυπέλλου ποδοσφαίρου. Μετά την εκδήλωση, 4 φίλοι συναντιούνται για να μιλήσουν. Ποια είναι η πιθανότητα ότι 3 από αυτούς έχουν δει το παιχνίδι;
Ας καθορίσουμε τις μεταβλητές του πειράματος:
n = 4 (είναι το συνολικό δείγμα που έχουμε)
x = αριθμός επιτυχιών, που σε αυτήν την περίπτωση ισούται με 3, καθώς ψάχνουμε για την πιθανότητα να έχουν δει 3 από τους 4 φίλους.
p = πιθανότητα επιτυχίας (0,8)
q = πιθανότητα αστοχίας (0,2). Αυτό το αποτέλεσμα επιτυγχάνεται αφαιρώντας το 1-p.
Αφού ορίσουμε όλες τις μεταβλητές μας, αντικαθιστούμε απλώς τον τύπο.
Ο αριθμητής του παραγοντικού θα ληφθεί πολλαπλασιάζοντας 4 * 3 * 2 * 1 = 24 και στον παρονομαστή θα έχουμε 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Επομένως, το αποτέλεσμα του παραγοντικού θα είναι 24/6 = 4 .
Έξω από το βραχίονα έχουμε δύο αριθμούς. Το πρώτο θα ήταν 0,8 3 = 0,512 και το δεύτερο 0,2 (δεδομένου ότι 4-3 = 1 και οποιοσδήποτε αριθμός αυξάνεται στο 1 είναι ο ίδιος).
Επομένως, το τελικό μας αποτέλεσμα θα ήταν: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Αν πολλαπλασιάσουμε με 100 έχουμε πιθανότητα 40,96% ότι 3 από τους 4 φίλους έχουν δει τον τελικό αγώνα του Παγκοσμίου Κυπέλλου.
