Ένα επαρκές στατιστικό στοιχείο για μια παράμετρο Θ είναι ένα ικανό να συλλέγει ή να συνοψίζει όλες τις πληροφορίες που περιέχει το δείγμα μιας τυχαίας μεταβλητής X.
Γνωρίζουμε ότι μια στατιστική είναι μια πραγματική συνάρτηση του δείγματος. Δηλαδή, παίρνει πραγματικές τιμές που περιέχονται στο δείγμα. Από εκεί, όπως έχουμε δει στο άρθρο στο οποίο ορίζεται η έννοια της στατιστικής, πρέπει να διασφαλίσουμε ότι ο στατιστικός θα έχει ορισμένες ιδιότητες. Γιατί να ζητήσετε τέτοιες ιδιότητες; Να διασφαλίσουμε ότι η στατιστική είναι χρήσιμη για τους σκοπούς μας.
Η επάρκεια είναι μία από αυτές τις ιδιότητες. Με πολύ απλούστερο τρόπο, θα πούμε ότι ένα στατιστικό στοιχείο είναι αρκετό εάν χρησιμοποιεί όλες τις πληροφορίες που περιέχονται στο δείγμα.
Πώς να ξέρετε αν μια στατιστική είναι αρκετή;
Λογικά, το ερώτημα που προκύπτει είναι: Πώς μπορώ να ξέρω αν ένα στατιστικό στοιχείο Τ πληροί την ιδιότητα επάρκειας; Ή Πώς μπορώ να βρω, εάν υπάρχει, μια στατιστική που πληροί την ιδιότητα επάρκειας. Η απάντηση σε αυτές τις δύο ερωτήσεις βρίσκεται σε δύο θεωρήματα:
- Κριτήριο παραγοντοποίησης Fisher-Neyman: Αυτό το κριτήριο δηλώνει ότι δεδομένου ενός στατιστικού T, εάν πληροί ορισμένες προϋποθέσεις, τότε θα είναι ένα επαρκές στατιστικό.
- Θεώρημα Darmois: Αυτό το θεώρημα απαντά στη δεύτερη ερώτηση. Δηλαδή, μας επιτρέπει να βρούμε επαρκή στατιστικά μέσα από μια σειρά διαδικασιών.
Παράδειγμα επαρκούς στατιστικής
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το μέσο ετήσιο εισόδημα των οικογενειών που κατοικούν στη Χιλή. Για να το κάνουμε αυτό, θα ακολουθήσουμε την ακόλουθη διαδικασία:
- Συλλέξτε πληροφορίες (δείγμα): Δεδομένου ότι δεν μπορούμε να ρωτήσουμε κάθε μία από τις οικογένειες που διαμένουν στη Χιλή πόσα κερδίζουν ετησίως, θα πάρουμε ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα, για παράδειγμα, 1.000 οικογενειών.
- Προσδιορίστε την τυχαία μεταβλητή υπό μελέτη: Η τυχαία μεταβλητή που μελετάται είναι το οικογενειακό εισόδημα. Έτσι: X → Οικογενειακό εισόδημα
- Επιλέξτε το σωστό στατιστικό: Η κατάλληλη στατιστική για τον υπολογισμό του μέσου εισοδήματος δεν είναι άλλη από την προσδοκία του X. Με άλλα λόγια, ο δείκτης μέσος όρος του X.
- Πώς μπορώ να ξέρω αν το στατιστικό μέσο δείγμα είναι επαρκές; Καθώς έχουμε ήδη τη μαθηματική έκφραση της στατιστικής, θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο factoring Fisher-Neyman. Ή, το Dermois Theorem. Είναι τύποι που δημιουργήθηκαν για το σκοπό αυτό.
Αφού εφαρμόσουμε τους σωστούς υπολογισμούς, συμπεραίνουμε ότι το στατιστικό μέσο όρο δείγματος πληροί την απαίτηση ή την ιδιότητα επάρκειας. Διασφαλίζοντας ότι πληροί αυτήν την απαίτηση, διασφαλίζουμε ότι αυτή η (στατιστική) λειτουργία, η οποία μας επιτρέπει να συνθέσουμε τις πληροφορίες (το μέσο εισόδημα), χρησιμοποιεί όλες τις πληροφορίες που περιέχονται στο δείγμα (1.000 οικογένειες).
Γιατί είναι σημαντικό να χρησιμοποιώ όλες τις πληροφορίες στο δείγμα;
Τώρα που γνωρίζουμε ότι το μέσο δείγμα είναι επαρκές στατιστικό, ας υποθέσουμε μια περίπτωση. Τι νόημα θα ήθελε να υπολογίσουμε το μέσο εισόδημα με βάση αυτές τις 1.000 οικογένειες της Χιλής και ότι χρησιμοποιούμε μόνο τα δεδομένα των 500 οικογενειών;
Φυσικά, δεν θα είχε νόημα. Θέλουμε μια περίληψη όλων των πληροφοριών. Δηλαδή, αυτό που έχουμε ορίσει ως επαρκή στατιστική.