Σε αυτήν την ανάρτηση εξηγούμε τις ιδιότητες της κατανομής t του Student.
Με άλλα λόγια, η κατανομή t είναι μια κατανομή πιθανότητας που υπολογίζει την τιμή του μέσου όρου ενός μικρού δείγματος που προέρχεται από έναν πληθυσμό που ακολουθεί μια κανονική κατανομή για την οποία δεν γνωρίζουμε την τυπική απόκλιση.
Προτεινόμενα άρθρα: βαθμοί ελευθερίας, βαθμοί ελευθερίας (παράδειγμα) και κανονική κατανομή.
Ιστορία
Ο William Sealy Gosset (1876-1937) το 1908 είχε την ανάγκη να δημιουργήσει μια διανομή για να τον βοηθήσει με στατιστικούς υπολογισμούς για τις μπύρες Guinness στην Ιρλανδία. Δεδομένου ότι τα αποτελέσματα έπρεπε να δημοσιευτούν χρησιμοποιώντας ιδιωτικά δεδομένα από το ζυθοποιείο για να αποδειχθεί η δυνατότητα εφαρμογής της νέας διανομής της, η εταιρεία απαγόρευσε στους υπαλλήλους της να δημοσιεύουν εμπιστευτικές πληροφορίες. Αυτός ο περιορισμός δεν εμπόδισε τον Gosset να δημοσιεύσει τα ευρήματά του με το ψευδώνυμο του Μαθητης σχολειου. Από εκείνη τη στιγμή και μετά, η κατανομή t αναγνωρίζεται ως διανομή t του Student.
Ιδιότητες της κατανομής t του Student
Οι ιδιότητες της κατανομής t του Student είναι οι εξής:
- Είναι μια συμμετρική κατανομή. Η τιμή του μέσου, μέσου και τρόπου συμπίπτει. Μαθηματικά,
Μέτρα κεντρικής τάσης
- Είναι μια μονοτροπική διανομή. Οι τιμές που είναι πιο συχνές ή είναι πιο πιθανό να εμφανιστούν (λειτουργία) είναι γύρω από τη μέση τιμή. Όταν απομακρυνόμαστε από το μέσο όρο, η πιθανότητα εμφάνισης των τιμών και η συχνότητά τους μειώνεται.
- Εάν έχουμε ένα δείγμα μεγέθους n, τότε θα έχουμε μια κατανομή t με (n-1) βαθμούς ελευθερίας.
Με άλλα λόγια, η κατανομή θα έχει τον ίδιο αριθμό παρατηρήσεων και στις δύο πλευρές της κεντρικής τιμής.
- Η συνάρτηση πυκνότητας δεν εξαρτάται από τους βαθμούς ελευθερίας να είναι συμμετρικοί.
- Η γραφική παράσταση μοιάζει με την κανονική κατανομή, δηλαδή έχει επίσης σχήμα καμπάνας.
- Η μέση ή μεσαία τιμή είναι μηδέν (0).
- Όσο περισσότερο αυξάνονται οι βαθμοί ελευθερίας, τόσο πιο παρόμοια θα είναι η κατανομή t με την κανονική κατανομή.
Κανονική κατανομή έναντι κατανομής t
Η κατανομή t και η κανονική κατανομή διαφέρουν κυρίως επειδή η κατανομή t αποδίδει μεγαλύτερη πιθανότητα σε ακραίες παρατηρήσεις από την τυπική κανονική κατανομή (διακύμανση μεγαλύτερη από 1). Με άλλα λόγια, η κατανομή t έχει ευρύτερες ουρές από την κανονική κατανομή.
