Η kurtosis είναι ένα στατιστικό μέτρο που καθορίζει το βαθμό συγκέντρωσης που οι τιμές μιας μεταβλητής υπάρχουν γύρω από την κεντρική ζώνη της κατανομής συχνότητας. Είναι επίσης γνωστό ως μέτρο στόχευσης.
Όταν μετράμε μια τυχαία μεταβλητή, γενικά, τα αποτελέσματα με την υψηλότερη συχνότητα είναι εκείνα γύρω από το μέσο όρο της κατανομής. Ας φανταστούμε το ύψος των μαθητών σε μια τάξη. Εάν το μέσο ύψος της τάξης είναι 1,72 cm, το πιο φυσιολογικό είναι ότι τα ύψη των υπόλοιπων μαθητών είναι γύρω από αυτήν την τιμή (με κάποιο βαθμό μεταβλητότητας, αλλά χωρίς να είναι πολύ μεγάλα). Εάν συμβεί αυτό, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής θεωρείται κανονικά κατανεμημένη. Ωστόσο, δεδομένου του άπειρου των μεταβλητών που μπορούν να μετρηθούν, αυτό δεν συμβαίνει πάντα.
Υπάρχουν μερικές μεταβλητές που παρουσιάζουν υψηλότερο βαθμό συγκέντρωσης (λιγότερη διασπορά) των τιμών γύρω από τον μέσο όρο τους και άλλες, αντίθετα, παρουσιάζουν χαμηλότερο βαθμό συγκέντρωσης (μεγαλύτερη διασπορά) των τιμών τους γύρω από την κεντρική τους τιμή. Επομένως, η kurtosis μας ενημερώνει για το πόσο μυτερή (υψηλότερη συγκέντρωση) ή ισοπεδωμένη (χαμηλότερη συγκέντρωση) είναι μια κατανομή.
Μέτρα κεντρικής τάσηςΑθροιστική συχνότηταΤύποι κούρτωσης
Ανάλογα με τον βαθμό της κούρτισης, έχουμε τρεις τύπους κατανομών:
1. Λεπτοκαρτίτικο: Υπάρχει μια μεγάλη συγκέντρωση τιμών γύρω από τη μέση τιμή τους (g2>3)
2. Μεσοκρικικός: Υπάρχει μια κανονική συγκέντρωση τιμών γύρω από τη μέση τιμή τους (g2=3).
3. Platicúrtica: Υπάρχει μια χαμηλή συγκέντρωση των τιμών γύρω από τη μέση τιμή τους (g2<3).
Μετρήσεις Kurtosis σύμφωνα με τα δεδομένα
Ανάλογα με την ομαδοποίηση ή όχι των δεδομένων, χρησιμοποιείται ένας τύπος ή ένας άλλος.
Μη ομαδοποιημένα δεδομένα:
Δεδομένα ομαδοποιημένα σε πίνακες συχνότητας:
Τα δεδομένα ομαδοποιούνται σε διαστήματα:
Παράδειγμα υπολογισμού της κούρτωσης για μη ομαδοποιημένα δεδομένα
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την kurtosis της ακόλουθης κατανομής:
8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.
Υπολογίζουμε πρώτα τον αριθμητικό μέσο (μ), που θα είναι 7,69.
Στη συνέχεια, υπολογίζουμε την τυπική απόκλιση, η οποία θα είναι 2,43.
Αφού έχετε αυτά τα δεδομένα και για ευκολία στον υπολογισμό, μπορεί να δημιουργηθεί ένας πίνακας για τον υπολογισμό του τμήματος του αριθμητή (τέταρτη στιγμή της διανομής). Για τον πρώτο υπολογισμό θα ήταν: (Xi-µ) 4 = (8-7.69) 4 = 0.009.
| Δεδομένα | (Xi-µ) 4 |
|---|---|
| 8 | 0,0090 |
| 5 | 52,5411 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 12 | 344,3330 |
| 7 | 0,2297 |
| 2 | 1049,9134 |
| 6 | 8,2020 |
| 8 | 0,0090 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 7 | 0,2297 |
| 7 | 0,2297 |
| Ν = 13 | ∑ = 1.518,27 |
Μόλις φτιάξουμε αυτόν τον πίνακα, θα πρέπει απλώς να εφαρμόσουμε τον τύπο που είχε προηγουμένως εκτεθεί για να έχει την κούρτιση.
σολ2 = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34
Σε αυτήν την περίπτωση από το g2 είναι μεγαλύτερη από 3, η κατανομή θα ήταν λεπτοκρατική, παρουσιάζοντας μεγαλύτερη υπόδειξη από την κανονική κατανομή.
Υπερβολική κούρωση
Σε ορισμένα εγχειρίδια, η kurtosis παρουσιάζεται ως περίσσεια kurtosis. Σε αυτήν την περίπτωση συγκρίνεται άμεσα με αυτήν της κανονικής κατανομής. Δεδομένου ότι η κανονική κατανομή έχει kurtosis 3, για να επιτευχθεί η περίσσεια, θα πρέπει μόνο να αφαιρέσουμε το 3 από το αποτέλεσμα μας.
Υπερβολική κούρωση = g2-3 = 3,34-3 = 0,34.
Η ερμηνεία του αποτελέσματος σε αυτήν την περίπτωση θα ήταν η ακόλουθη:
σολ2-3> 0 -> κατανομή λεπτοκρατικών.
σολ2-3 = 0 -> κατανομή μεσοκορτικού (ή κανονικής).
σολ2-3 διανομή πλαστικού.
Περιγραφικά στατιστικά