Το Θεώρημα Central Limit (TCL) είναι μια στατιστική θεωρία που δηλώνει ότι, δεδομένου ενός αρκετά μεγάλου τυχαίου δείγματος του πληθυσμού, η κατανομή του μέσου δείγματος θα ακολουθήσει μια κανονική κατανομή.
Επιπλέον, το TCL δηλώνει ότι όσο αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος, ο μέσος όρος δείγματος θα πλησιάζει στον μέσο όρο του πληθυσμού. Επομένως, μέσω του TCL μπορούμε να ορίσουμε την κατανομή του μέσου δείγματος ενός συγκεκριμένου πληθυσμού με γνωστή διακύμανση. Έτσι, η κατανομή θα ακολουθήσει μια κανονική κατανομή εάν το μέγεθος του δείγματος είναι αρκετά μεγάλο.
Κύριες ιδιότητες του κεντρικού ορίου θεώρημα
Το κεντρικό θεώρημα ορίου έχει μια σειρά πολύ χρήσιμων ιδιοτήτων στο στατιστικό και πιθανό πεδίο. Τα κύρια είναι:
- Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι αρκετά μεγάλο, η κατανομή του μέσου δείγματος θα ακολουθήσει περίπου μια κανονική κατανομή. Το TCL θεωρεί ένα δείγμα τόσο μεγάλο όταν το μέγεθός του είναι μεγαλύτερο από 30. Επομένως, εάν το δείγμα είναι μεγαλύτερο από 30, το μέσο δείγμα θα έχει συνάρτηση κατανομής κοντά σε ένα κανονικό. Και αυτό ισχύει ανεξάρτητα από τη μορφή της διανομής με την οποία εργαζόμαστε.
- Ο μέσος πληθυσμός και ο μέσος όρος δείγματος θα είναι οι ίδιοι. Δηλαδή, ο μέσος όρος της κατανομής όλων των δειγμάτων θα είναι ίσος με τον μέσο όρο του συνολικού πληθυσμού.
- Η διακύμανση της κατανομής του μέσου δείγματος θα είναι σ² / n. Ποια είναι η διακύμανση του πληθυσμού διαιρούμενο με το μέγεθος του δείγματος.
Το ότι η κατανομή του μέσου δείγματος μοιάζει με ένα κανονικό είναι εξαιρετικά χρήσιμο. Επειδή η κανονική κατανομή είναι πολύ εύκολο να εφαρμοστεί για τη διεξαγωγή δοκιμών υπόθεσης και την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης. Στα στατιστικά στοιχεία ότι η διανομή είναι φυσιολογική είναι πολύ σημαντική, καθώς πολλά στατιστικά στοιχεία απαιτούν αυτόν τον τύπο διανομής. Επιπλέον, το TCL θα μας επιτρέψει να κάνουμε συμπεράσματα σχετικά με τον μέσο όρο του πληθυσμού μέσω του μέσου δείγματος. Και αυτό είναι πολύ χρήσιμο όταν, λόγω έλλειψης μέσων, δεν μπορούμε να συλλέξουμε δεδομένα από έναν ολόκληρο πληθυσμό.
Παράδειγμα του κεντρικού ορίου θεώρημα
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αναλύσουμε τις ιστορικές μέσες αποδόσεις του δείκτη S&P 500, ο οποίος, όπως γνωρίζουμε, έχει περίπου 500 εταιρείες. Αλλά δεν έχουμε αρκετές πληροφορίες για να αναλύσουμε και τις 500 εταιρείες του ευρετηρίου. Σε αυτήν την περίπτωση, η μέση κερδοφορία του S&P 500 θα ήταν ο μέσος πληθυσμός.
Τώρα, ακολουθώντας το TCL μπορούμε να πάρουμε ένα δείγμα από αυτές τις 500 εταιρείες για να πραγματοποιήσουμε την ανάλυση. Ο μόνος περιορισμός που έχουμε είναι ότι στο δείγμα πρέπει να υπάρχουν περισσότερες από 30 εταιρείες για να εκπληρωθεί το θεώρημα. Ας φανταστούμε λοιπόν ότι επιλέγουμε τυχαία 50 εταιρείες από το ευρετήριο και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία αρκετές φορές. Τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσετε στο παράδειγμα θα είναι τα εξής:
- Επιλέγουμε το δείγμα περίπου 50 εταιρειών και λαμβάνουμε τη μέση κερδοφορία ολόκληρου του δείγματος.
- Επιλέγουμε συνεχώς 50 εταιρείες και επιτυγχάνουμε τη μέση κερδοφορία.
- Η κατανομή όλων των μέσων αποδόσεων όλων των επιλεγμένων δειγμάτων θα προσεγγίσει μια κανονική κατανομή.
- Οι μέσες αποδόσεις όλων των επιλεγμένων δειγμάτων θα προσεγγίσουν τις μέσες αποδόσεις του συνολικού δείκτη. Όπως φαίνεται από το Θεώρημα Central Limit.
Επομένως, με την εξαγωγή από τη μέση απόδοση του δείγματος μπορούμε να προσεγγίσουμε τη μέση απόδοση του δείκτη.