Μια αντίστροφη μήτρα είναι ο γραμμικός μετασχηματισμός μιας μήτρας πολλαπλασιάζοντας τον αντίστροφο του προσδιοριστή της μήτρας με τον παρακείμενο μεταφερόμενο πίνακα.
Με άλλα λόγια, μια αντίστροφη μήτρα είναι ο πολλαπλασιασμός του αντίστροφου του καθοριστικού παράγοντα με τη μετατεθείσα προσάρτηση μήτρας.
Προτεινόμενα άρθρα: καθοριστής μιας μήτρας, τετραγωνικής μήτρας, κύρια διαγώνια και λειτουργίες με πίνακες.
Δεδομένου οποιουδήποτε πίνακα X έτσι
Τύπος αντίστροφης μήτρας μήτρας της τάξης 2
Τότε η αντίστροφη μήτρα του Χ θα είναι
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο λαμβάνουμε τον αντίστροφο πίνακα ενός τετραγωνικού πίνακα της τάξης 2.
Ο παραπάνω τύπος μπορεί επίσης να εκφραστεί από τον καθοριστικό παράγοντα της μήτρας.
Τύπος αντίστροφης μήτρας μήτρας της τάξης 2
Οι δύο παράλληλες γραμμές γύρω από το Χ στον παρονομαστή δείχνουν ότι είναι ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας Χ.
Όταν ένας τετραγωνικός πίνακας έχει έναν αντίστροφο πίνακα, λέμε ότι είναι ένας κανονικός πίνακας.
Απαιτήσεις
Για να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα ενός πίνακα της τάξης n πρέπει να πληρούμε τις ακόλουθες απαιτήσεις:
- Η μήτρα πρέπει να είναι τετράγωνη μήτρα.
Ο αριθμός των σειρών (n) πρέπει να είναι ίδιος με τον αριθμό των στηλών (m). Δηλαδή, η σειρά του πίνακα πρέπει να είναι δεδομένη ότι n = m.
- Ο καθοριστής πρέπει να είναι μη μηδενικός (0).
Ο καθοριστής της μήτρας πρέπει να είναι μη μηδενικός (0) καθώς συμμετέχει στον τύπο ως παρονομαστής. Εάν ο παρονομαστής ήταν μηδέν (0) θα είχαμε έναν απροσδιόριστο.
Εάν ο παρονομαστής (ad - bc) = 0, δηλαδή ο καθοριστής της μήτρας X είναι ίσος με μηδέν (0), τότε ο πίνακας X δεν έχει αντίστροφο πίνακα.
Ιδιοκτησία
Ένας τετραγωνικός πίνακας X της τάξης n θα έχει έναν αντίστροφο πίνακα X της τάξης n, X-1, έτσι ώστε να το εκπληρώνει
Η σειρά των στοιχείων του πολλαπλασιασμού δεν είναι σχετική, δηλαδή, ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε τετραγωνικού πίνακα από την αντίστροφη μήτρα του θα έχει πάντα ως αποτέλεσμα τον πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης.
Σε αυτήν την περίπτωση, η σειρά του πίνακα X είναι 2. Έτσι, μπορούμε να ξαναγράψουμε την προηγούμενη ιδιότητα ως:
Πρακτικό παράδειγμα
Βρείτε την αντίστροφη μήτρα του πίνακα V.
Για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο ή πρώτα να υπολογίσουμε τον καθοριστικό παράγοντα και μετά να τον αντικαταστήσουμε.
Τύπος
Τύπος με καθοριστικό παράγοντα
Υπολογίζουμε πρώτα τον καθοριστικό παράγοντα του πίνακα V και στη συνέχεια αντικαθιστούμε τον τύπο.
Έτσι, λαμβάνουμε ότι ο καθοριστής του πίνακα V είναι διαφορετικός από το μηδέν (0) και μπορούμε να πούμε ότι ο πίνακας V έχει αντίστροφη μήτρα.
Λαμβάνουμε το ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας τον τύπο ή πρώτα υπολογίζοντας τον καθοριστικό παράγοντα και στη συνέχεια αντικαθιστώντας το.
Η σειρά του αντίστροφου πίνακα είναι ίδια με τη σειρά του αρχικού πίνακα. Σε αυτήν την περίπτωση, θα έχουμε τον ίδιο αριθμό σειρών n και στηλών m και στους δύο πίνακες V και V-1.
Μεταφερόμενη μήτρα
