Άπειρα σύνολα είναι εκείνα που περιέχουν απεριόριστο αριθμό στοιχείων. Δηλαδή, αυτά που εκτείνονται επ 'αόριστον.
Με άλλα λόγια, ένα άπειρο σύνολο είναι το αντίθετο ενός πεπερασμένου συνόλου, το οποίο έχει έναν περιορισμένο ή περιορισμένο αριθμό στοιχείων.
Πρέπει να σημειωθεί ότι το γεγονός ότι ένα σετ είναι άπειρο δεν σημαίνει ότι δεν είναι μετρήσιμο. Για να κατανοήσουμε αυτό το σημείο, ας δούμε το παράδειγμα του συνόλου των φυσικών αριθμών, το οποίο είναι άπειρο, αλλά είναι μετρήσιμο, καθώς είναι δυνατό να προσδιοριστεί το στοιχείο 1, 2, 3 κ.λπ.
Από άλλη άποψη, ένα σύνολο M είναι άπειρο όταν δεν μπορεί να αντιστοιχιστεί με άλλο σετ (1, 2,…, n), το οποίο θα ονομάσουμε N. ένα, συν μονάδα.
Πιο τυπικά, λέγεται ότι δεν υπάρχει αλληλογραφία ένας προς έναν μεταξύ του σετ Μ και του σετ Ν, με το τελευταίο να είναι πεπερασμένο.
Επίσης, πρέπει να σημειωθεί ότι τα Μ και Ν δεν είναι ισοδύναμα. Δηλαδή, για κάθε στοιχείο του Μ δεν υπάρχει στοιχείο του Ν.
Παραδείγματα άπειρων συνόλων
Μερικά παραδείγματα άπειρων συνόλων είναι τα εξής:
- Η ποσότητα των κόκκων άμμου σε μια παραλία.
- Μονός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 13.
- Οι σταγόνες νερού που περιέχει η θάλασσα.
- Τα πολλαπλάσια των 10.
Απεριόριστες ιδιότητες
Οι ιδιότητες των άπειρων συνόλων έχουν ως εξής:
- Η ένωση των συνόλων Α και Β είναι ένα άπειρο σύνολο, εφ 'όσον ένα από αυτά τα σύνολα, Α ή Β, είναι άπειρο.
- Κάθε σύνολο που έχει ένα άπειρο σύνολο ως υποσύνολο είναι επίσης ένα άπειρο σύνολο.
- Το σετ ισχύος ενός άπειρου συνόλου είναι, με τη σειρά του, άπειρο. Υπό αυτήν την έννοια, πρέπει να θυμόμαστε ότι το σύνολο ισχύος ενός συνόλου M περιλαμβάνει όλα τα υποσύνολα που μπορούν να σχηματιστούν με τα στοιχεία του εν λόγω συνόλου, συμπεριλαμβανομένου του μηδενικού συνόλου ή του ∅. Για παράδειγμα, εάν έχουμε:
(7, 13, 58)
Το σετ ισχύος θα είναι: (∅, (7,13), (7,58), (13,58), (7), (13), (58), (7,13,58))