Ιδιότητες της κανονικής κατανομής

Οι ιδιότητες της κανονικής κατανομής είναι ένα σύνολο χαρακτηριστικών που περιγράφουν την κανονική κατανομή.

Με άλλα λόγια, οι ιδιότητες της κανονικής κατανομής είναι ο λόγος για τον οποίο αυτή η κατανομή είναι τόσο ευέλικτη και ευρέως χρησιμοποιούμενη.

Ιδιότητες της κανονικής κατανομής

Η κανονική κατανομή είναι ένα θεωρητικό μοντέλο ικανό να προσεγγίσει ικανοποιητικά μια τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής σε μια πραγματική τιμή. Με άλλα λόγια, η κανονική κατανομή προσαρμόζει μια τυχαία μεταβλητή σε μια συνάρτηση που εξαρτάται από τοΉμισυ και τοτυπική απόκλιση. Αυτό είναι τολειτουργία και η τυχαία μεταβλητή θα έχει την ίδια αναπαράσταση αλλά με μικρές διαφορές.

Δεδομένων των παρακάτω ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν μια κανονική κατανομή:

Η κανονική κατανομή είναι πολύ γνωστή και χρησιμοποιείται στις περισσότερες περιπτώσεις επειδή πολλές από τις υποθέσεις και τη στατιστική θεωρία βασίζονται στην κανονική κατανομή. Συγκεκριμένα, η κανονική κατανομή είναι συμμετρική, εξαρτάται μόνο από δύο παραμέτρους και έχει μία μόνο λειτουργία (μονοτροπική)

Χαρακτηριστικά της κανονικής κατανομής

1. Συμμετρική σε σχέση με τη μέση τιμή της. Με άλλα λόγια, το μέσο λειτουργεί ως καθρέφτης στη διανομή και κάνει και τις δύο ουρές πανομοιότυπες και συνεπώς συμμετρικές.
2. Μέση = Λειτουργία = Διάμεσος. Τα μέτρα συγκέντρωσης είναι τα ίδια, επειδή η κατανομή είναι συμμετρική.
3. Η κατανομή αλλάζει καμπυλότητα ή έχει σημεία καμπής στα σημεία στον οριζόντιο άξονα:

Διαστήματα

4. Σύμφωνα με τις τυπικές αποκλίσεις που προστίθενται στο μέσο όρο, η πιθανότητά του μπορεί εύκολα να προσδιοριστεί:

• Για αυτό το διάστημα γνωρίζουμε ότι θα έχει πιθανότητα 68%. Με άλλα λόγια, οι τιμές που περιλαμβάνονται στο διάστημα και τα άκρα του έχουν πιθανότητα εμφάνισης 68,2%.

• Γι 'αυτό το διάστημα γνωρίζουμε ότι θα έχει πιθανότητα 95%. Με άλλα λόγια, οι τιμές εντός του διαστήματος και των άκρων του έχουν πιθανότητα εμφάνισης 95%.

• Για αυτό το διάστημα γνωρίζουμε ότι θα έχει πιθανότητα 99%. Με άλλα λόγια, οι τιμές στο διάστημα και τα άκρα του έχουν πιθανότητα εμφάνισης 99%.

Γραμμικές λειτουργίες

5. Γραμμικές λειτουργίες προσθήκης και αφαίρεσης.

Η κανονική κατανομή επιτρέπει γραμμικούς συνδυασμούς με άλλες κανονικές κατανομές:

• Αφήστε το S να είναι το άθροισμα των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X και W, αυτό θα ακολουθήσει επίσης μια κανονική κατανομή στην οποία η μέση τιμή θα είναι η άθροισμα μέσων και η διακύμανση θα είναι άθροισμα διακυμάνσεων.

• Αφήστε το D αφαίρεση ή διαφορά των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X και W, αυτό θα ακολουθήσει επίσης μια κανονική κατανομή στην οποία η μέση τιμή θα είναι η αφαίρεση ή διαφορά από τα μέσα και η διακύμανση θα είναι άθροισμα διακυμάνσεων.

Μπορείτε επίσης να προσθέσετε παραμέτρους που είναι πραγματικοί αριθμοί:

• Σαν η Γ ρ δύο πραγματικούς αριθμούς, μπορείτε να κάνετε έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών και μια ανεξάρτητη μεταβλητή που ακολουθεί μια κανονική κατανομή:

Παράδειγμα

Υπολογίστε την πιθανότητα των ακόλουθων διαστημάτων γνωρίζοντας ότι η μέση τιμή είναι 14 και η τυπική απόκλιση είναι 2: