Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι ένα μοντέλο που χρησιμοποιεί μαθηματικούς τύπους για να αντιπροσωπεύει τη σχέση μεταξύ διαφορετικών μεταβλητών, παραμέτρων και περιορισμών.
Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια απλοποιημένη αναπαράσταση, μέσω μαθηματικών εξισώσεων, συναρτήσεων ή τύπων, ενός φαινομένου ή της σχέσης μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών. Ο κλάδος των μαθηματικών που είναι υπεύθυνος για τη μελέτη των ιδιοτήτων και της δομής των μοντέλων είναι η λεγόμενη «θεωρία μοντέλου».
Σε τι χρησιμεύει το μαθηματικό μοντέλο;
Τα μαθηματικά μοντέλα χρησιμοποιούνται για την ανάλυση της σχέσης μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατανόηση φυσικών, κοινωνικών, φυσικών φαινομένων κ.λπ. Ανάλογα με τον επιδιωκόμενο στόχο και τον σχεδιασμό του ίδιου μοντέλου, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την πρόβλεψη της αξίας των μεταβλητών στο μέλλον, να κάνουν υποθέσεις, να αξιολογήσουν τα αποτελέσματα μιας συγκεκριμένης πολιτικής ή δραστηριότητας, μεταξύ άλλων στόχων.
Αν και φαίνεται μια θεωρητική έννοια, στην πραγματικότητα υπάρχουν πολλές πτυχές της καθημερινής ζωής που διέπονται από μαθηματικά μοντέλα. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι δεν είναι μαθηματικά μοντέλα που επικεντρώνονται στη θεωρία. Αντίθετα, είναι μαθηματικά μοντέλα που διατυπώνονται για να κάνουν κάτι να λειτουργεί. Για παράδειγμα, ένα αυτοκίνητο.
Βασικά στοιχεία ενός μαθηματικού μοντέλου
Τα μαθηματικά μοντέλα μπορεί να ποικίλλουν στην πολυπλοκότητά τους, αλλά όλα έχουν ένα σύνολο βασικών χαρακτηριστικών:
- Μεταβλητές: Είναι οι έννοιες ή τα αντικείμενα που κάποιος προσπαθεί να κατανοήσει ή να αναλύσει. Ειδικά σε σχέση με τη σχέση του με άλλες μεταβλητές. Έτσι, για παράδειγμα, μια μεταβλητή μπορεί να είναι ο μισθός των εργαζομένων και αυτό που θέλουμε να αναλύσουμε είναι οι κύριοι καθοριστικοί παράγοντες τους (για παράδειγμα: χρόνια σπουδών, εκπαίδευση γονέων, τόπος γέννησης κ.λπ.)
- Παράμετροι: Αυτές είναι γνωστές ή ελεγχόμενες τιμές του μοντέλου.
- Περιορισμοί: Είναι ορισμένα όρια που δείχνουν ότι τα αποτελέσματα της ανάλυσης είναι λογικά. Για παράδειγμα, εάν μία από τις μεταβλητές είναι ο αριθμός των παιδιών μιας οικογένειας, ένας φυσικός περιορισμός είναι ότι αυτή η τιμή δεν μπορεί να είναι αρνητική.
- Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών: Το μοντέλο καθιερώνει μια συγκεκριμένη σχέση μεταξύ των μεταβλητών που βασίζονται σε οικονομικές, φυσικές, χημικές θεωρίες κ.λπ.
- Απλοποιημένες παραστάσεις: Ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά ενός μαθηματικού μοντέλου είναι η αναπαράσταση των σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών που μελετήθηκαν μέσω στοιχείων μαθηματικών όπως: συναρτήσεις, εξισώσεις, τύποι κ.λπ.
Επιθυμητές ιδιότητες ενός μαθηματικού μοντέλου
Όταν σχεδιάζεται ένα μαθηματικό μοντέλο, προορίζεται να έχει ένα σύνολο ιδιοτήτων που βοηθούν στη διασφάλιση της ευρωστίας και της αποτελεσματικότητάς του. Μεταξύ αυτών των ιδιοτήτων είναι:
- Απλότητα: Ένας από τους κύριους στόχους ενός μαθηματικού μοντέλου είναι η απλοποίηση της πραγματικότητας προκειμένου να την κατανοήσει καλύτερα.
- Αντικειμενικότητα: Δεν έχει προκαταλήψεις ούτε θεωρητικές ούτε προκαταλήψεις ή ιδέες των σχεδιαστών της.
- Ευαισθησία: Ότι είναι σε θέση να αντανακλά τα αποτελέσματα μικρών παραλλαγών.
- Σταθερότητα: Ότι το μαθηματικό μοντέλο δεν αλλάζει σημαντικά όταν υπάρχουν μικρές αλλαγές στις μεταβλητές.
- Καθολικότητα: Ότι μπορεί να εφαρμοστεί σε διάφορα περιβάλλοντα και όχι μόνο σε μια συγκεκριμένη περίπτωση.
Προφανώς υπάρχουν πολλά περισσότερα, αλλά τα παραπάνω είναι τα πιο διαισθητικά.
Διαδικασίες για τη δημιουργία ενός μαθηματικού μοντέλου
Σε γενικές γραμμές, η διαδικασία ανάπτυξης ενός μαθηματικού μοντέλου έχει ως εξής:
- Βρείτε ένα φαινόμενο ή πρόβλημα.
- Διαμορφώστε ένα μοντέλο με στοιχεία μαθηματικών που αντιπροσωπεύουν το επιλεγμένο πρόβλημα προσδιορίζοντας τις σχετικές μεταβλητές (εξαρτώμενες και ανεξάρτητες).
- Καθιερώστε υποθέσεις και μια μέθοδο δοκιμής για την αλήθεια.
- Εφαρμόστε μαθηματικές γνώσεις για να λύσετε το μοντέλο και να κάνετε προβλέψεις εάν είναι απαραίτητο.
- Πραγματοποιήστε συγκρίσεις των δεδομένων που λαμβάνονται με πραγματικά δεδομένα.
- Εάν τα αποτελέσματα δεν ανταποκρίνονται στις προσδοκίες, προσαρμόστε το μαθηματικό μοντέλο.
Τύποι μαθηματικών μοντέλων
Υπάρχουν διάφοροι τύποι μαθηματικών μοντέλων. Ακολουθούν ορισμένοι από τους πιο σχετικούς τύπους μοντέλων:
Σύμφωνα με τις πληροφορίες που χρησιμοποιήθηκαν
- Ευρετικός: Με βάση πιθανές εξηγήσεις σχετικά με τις αιτίες των παρατηρούμενων φαινομένων.
- Εμπειρικός: Χρησιμοποιεί πληροφορίες από πραγματικό πειραματισμό.
Ανάλογα με τον τύπο της αναπαράστασης
- Ποιοτικό ή εννοιολογικό: Αναφέρονται σε ανάλυση της ποιότητας ή της τάσης ενός φαινομένου χωρίς να υπολογίζουν μια ακριβή τιμή.
- Ποσοτικά ή αριθμητικά: Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται έχουν μια συγκεκριμένη τιμή που έχει μια συγκεκριμένη έννοια (μπορεί να είναι ακριβής ή σχετική).
Σύμφωνα με την τυχαιότητα
- Ντετερμινιστική: Δεν έχει καμία αβεβαιότητα, οι τιμές είναι γνωστές.
- Στοχαστικό: Η τιμή των μεταβλητών δεν είναι γνωστή ανά πάσα στιγμή. Υπάρχει αβεβαιότητα και επομένως κατανομή πιθανότητας των αποτελεσμάτων.
Σύμφωνα με την εφαρμογή ή τον στόχο σας
- Προσομοίωση ή περιγραφική: Προσομοιώνει ή περιγράφει ένα φαινόμενο. Τα αποτελέσματα εστιάζονται στην πρόβλεψη του τι θα συμβεί σε μια συγκεκριμένη κατάσταση.
- Βελτιστοποίηση: Χρησιμοποιούνται για να βρουν τη βέλτιστη λύση σε ένα πρόβλημα.
- Τον έλεγχο: Να διατηρηθεί ο έλεγχος ενός οργανισμού ή συστήματος και να προσδιοριστούν οι μεταβλητές που πρέπει να προσαρμοστούν για να επιτευχθούν τα επιθυμητά αποτελέσματα.