Cholesky αποσύνθεση - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Η αποικοδόμηση Cholesky είναι ένα ειδικό είδος αποσύνθεσης μήτρας LU, από το Αγγλικό Κάτω-Άνω, το οποίο συνίσταται στην παραχώρηση μιας μήτρας στο προϊόν δύο ή περισσότερων πινάκων.

Με άλλα λόγια, η αποσύνθεση Cholesky συνίσταται στην εξίσωση μιας μήτρας που περιέχει τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών (τετραγωνική μήτρα) με μια μήτρα με μηδενικά πάνω από την κύρια διαγώνια πολλαπλασιαζόμενη με τη μήτρα της που μεταφέρεται με μηδενικά κάτω από την κύρια διαγώνια.

Η αποσύνθεση LU, σε αντίθεση με τον Cholesky, μπορεί να εφαρμοστεί σε διάφορους τύπους τετραγωνικών πινάκων.

Cholesky χαρακτηριστικά αποσύνθεσης

Η αποσύνθεση Cholesky αποτελείται από:

• Ένα άνω τριγωνικό τετράγωνο πλέγμα: Τετράγωνη μήτρα που έχει μόνο μηδενικά κάτω από την κύρια διαγώνια.

• Κάτω τριγωνική τετραγωνική μήτρα: Μια μήτρα που έχει μόνο μηδενικά πάνω από την κύρια διαγώνια.

Μαθηματικά, εάν υπάρχει θετικός συγκεκριμένος συμμετρικός πίνακας, ΚΑΙ, τότε υπάρχει μια κάτω τριγωνική συμμετρική μήτρα, Κ, της ίδιας διάστασης με ΚΑΙ, έχοντας ως αποτέλεσμα:

Ο παραπάνω πίνακας εμφανίζεται ως ο πίνακας Cholesky του E. Αυτός ο πίνακας ενεργεί ως η τετραγωνική ρίζα του πίνακα E. Γνωρίζουμε ότι ο τομέας της τετραγωνικής ρίζας είναι:

(X ∈ ℜ: x ≥ 0)

Το οποίο ορίζεται σε όλους τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς. Με τον ίδιο τρόπο όπως η τετραγωνική ρίζα, η μήτρα Cholesky θα υπάρχει μόνο εάν η μήτρα είναι ημι-θετική ορισμένη. Ο πίνακας είναι ημι-θετικός όταν ο μεγάλος ανήλικος έχει θετικό ή μηδενικό καθοριστικό.

Η Cholesky αποσύνθεση του ΚΑΙ είναι μια διαγώνια μήτρα έτσι ώστε:

Μπορούμε να δούμε ότι οι πίνακες είναι τετράγωνες και περιέχουν τα αναφερόμενα χαρακτηριστικά. τρίγωνο μηδέν πάνω από την κύρια διαγώνια στον πρώτο πίνακα και τρίγωνο μηδέν κάτω από την κύρια διαγώνια στον μετασχηματισμένο πίνακα.

Εφαρμογές αποσύνθεσης Cholesky

Στη χρηματοδότηση χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει τις πραγματοποιήσεις ανεξάρτητων κανονικών μεταβλητών σε κανονικές μεταβλητές που συσχετίζονται σύμφωνα με μια μήτρα συσχέτισης ΚΑΙ.

Εάν το Ν είναι ένας φορέας ανεξάρτητων κανονικών (0,1), προκύπτει ότι το Ñ είναι ένας φορέας των Κανονικών (0,1) που συσχετίζεται σύμφωνα με ΚΑΙ.

Παράδειγμα αποσύνθεσης Cholesky

Αυτό είναι το απλούστερο παράδειγμα που μπορούμε να βρούμε για την αποσύνθεση του Cholesky καθώς οι πίνακες πρέπει να είναι τετράγωνες, στην περίπτωση αυτή, η μήτρα είναι (2 × 2). Δύο σειρές από δύο στήλες. Επιπλέον, πληροί τα χαρακτηριστικά της μηδενικής πάνω και κάτω από την κύρια διαγώνια. Αυτή η μήτρα είναι ημι-θετική οριστική επειδή οι κύριοι ανήλικοι έχουν θετικό καθοριστικό παράγοντα. Ορίζουμε:

Επίλυση για: γ² = 4; b · c = -2; προς την²+ β² = 5; έχουμε τέσσερις πιθανούς πίνακες Cholesky:

Τέλος υπολογίζουμε για να βρούμε (a, b, c). Μόλις τα βρούμε, θα έχουμε τους πίνακες Cholesky. Ο υπολογισμός έχει ως εξής: