Η τετραγωνική μορφή της μήτρας είναι το προϊόν του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος της τάξης n με οποιονδήποτε τετραγωνικό πίνακα από τον φορέα της τάξης και της μεταφοράς.
Με άλλα λόγια, η τετραγωνική μορφή της μήτρας είναι ένας γραμμικός συνδυασμός μιας τετραγωνικής μήτρας, ενός διανύσματος της τάξης n και της μεταφοράς αυτού του διανύσματος.
Συνιστώμενο άρθρο: λειτουργίες με πίνακες.
Τύπος Matrix Quadratic Form
Δεδομένου τετραγωνικού πίνακα Ζ της τάξης n και ενός διανύσματος h διαστάσεων n, μπορούμε να γράψουμε την έκφραση που ονομάζεται τετραγωνική μορφή της φόρμας:
Το αποτέλεσμα της τετραγωνικής φόρμας θα είναι πάντα κλιμακωτό, δηλαδή ένας αριθμός, όχι ένας πίνακας.
Εφαρμογές
Η τετραγωνική μορφή της μήτρας χρησιμοποιείται για τον εντοπισμό του βαθμού θετικότητας και αρνητικότητας των καθορισμένων πινάκων. Ανάλογα με τις τιμές του διανύσματος h, η τιμή της τετραγωνικής φόρμας θα είναι μηδέν (0), θετική ή αρνητική.
Μόλις λάβουμε την τετραγωνική φόρμα μπορούμε να πούμε ότι έχουμε "ορίσει" τη μήτρα. Έτσι, μπορούμε να μιλήσουμε για μια συγκεκριμένη μήτρα. Αυτός ο πίνακας μπορεί να είναι θετικός ορισμός, θετικός ημι-ορισμός, αρνητικός ορισμός και αρνητικός ημι-ορισμός.
Πρακτικό παράδειγμα
Εύρεση της τετραγωνικής μορφής του τετραγωνικού πίνακα Ζ δεδομένου ενός διανύσματος h:
Επεξεργάζομαι, διαδικασία
Πρώτα μεταφέρουμε το διάνυσμα h.
Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον τύπο της τετραγωνικής φόρμας.
Όπως είπαμε προηγουμένως, το αποτέλεσμα της τετραγωνικής φόρμας θα είναι πάντα ένας ενιαίος αριθμός. Σε αυτήν την περίπτωση είναι ένας αυστηρά θετικός αριθμός.
Αλλά … Πώς μπορεί να είναι ότι το αποτέλεσμα είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός και όχι ένας πίνακας εάν πολλαπλασιάζουμε πίνακες;
Η μείωση της διάστασης του πίνακα από τον πολλαπλασιασμό συμβαίνει επειδή πολλαπλασιάζουμε πίνακες που μοιράζονται τον ίδιο αριθμό στηλών και σειρών.
Επίδειξη:
Από το προϊόν μήτρας Ζ και από τον μεταφερόμενο φορέα h παραμένει ένα διάνυσμα διαστάσεων 3 × 1. Με τον ίδιο τρόπο, το προϊόν του διανύσματος αποτελέσματος και του διανύσματος h παραμένει ένας πίνακας διαστάσεων 1 × 1. Ένας πίνακας διαστάσεων 1 × 1 είναι κλιμακωτός.
Έτσι, εάν υπολογίσουμε την τετραγωνική μορφή ενός πίνακα και αποκτήσουμε έναν πίνακα με διάσταση μεγαλύτερη από 1 × 1 (λαμβάνουμε ένα άλλο αποτέλεσμα εκτός από έναν συγκεκριμένο αριθμό), αυτό σημαίνει ότι κάναμε λάθος σε κάποιο βήμα και ότι το το αποτέλεσμα είναι λάθος.