Ο φυσικός λογάριθμος, ln (x), είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης και ορίζεται σε x μόνο για θετικούς πραγματικούς αριθμούς.
Διαισθητικά, αυτό που σκοπεύει να λύσει ο φυσικός λογάριθμος είναι η ακόλουθη εξίσωση:
καιΓ= x
Πού θα ήταν το αποτέλεσμα που ψάχνουμε. Δηλαδή, αν το x είναι 20, πόσο «y» πρέπει να αξίζει όταν το ανεβάζουμε στο «e» για να ικανοποιηθεί η εξίσωση. Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα του ln (20)
καιΓ= 20 ⇒ y = 3
Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο αριθμός «e» αξίζει 2.7182818… επαληθεύουμε ότι αν το ανεβάσουμε στο 3, το αποτέλεσμα είναι πράγματι 20.07. Αυτό συμβαίνει, επειδή ο φυσικός λογάριθμος των 20 είναι στην πραγματικότητα 2,99. Αλλά σε αυτό το παράδειγμα, έχουμε χρησιμοποιήσει 3 για να το κάνουμε πιο εύκολο.
Τομέας του φυσικού λογάριθμου
Μαθηματικά ο τομέας του φυσικού λογάριθμου είναι:
(x ∈ ℜ: x> 0)
Δηλαδή, το x πρέπει να είναι ένας πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος από το μηδέν. Διαφορετικά, η συνάρτηση δεν υπάρχει. Ο τρόπος ελέγχου είναι ειλικρινά απλός. Πρέπει να το ελέγξουμε μόνο με έναν αριθμό που είναι μηδέν ή μικρότερος. Για παράδειγμα:
καιΓ= 0 ⇒ y = Δεν υπάρχει αποτέλεσμα
Δεν υπάρχει αριθμός «y» που, όταν αυξάνεται στο «e», οδηγεί στο μηδέν. Μπορούμε να φτάσουμε πολύ κοντά στο μηδέν, αλλά το αποτέλεσμα δεν θα είναι ποτέ μηδέν.
Με πιο ακριβή τρόπο μπορούμε να επεκτείνουμε τον ορισμό πέρα από τους θετικούς αριθμούς σε πολύπλοκους αριθμούς. Για οποιοδήποτε αρνητικό πραγματικό x, θα ορίζαμε, όπου αποτελεσματικά Εγώ αντιστοιχεί στην τετραγωνική ρίζα του (-1). Ωστόσο, αυτή είναι μια πιο προηγμένη σημείωση και δεν είναι αντικειμενική η τοποθέτηση λεπτομερειών σχετικά με πολύπλοκους αριθμούς σε αυτήν την εξήγηση.
Γραφική αναπαράσταση του φυσικού λογάριθμου
Η γραφική αναπαράσταση αυτής της συνάρτησης είναι:
Να θυμόμαστε ότι η λειτουργία που αντιπροσωπεύουμε είναι καιΓ= x, βλέπουμε ότι καθώς αλλάζει η τιμή του «y», το ίδιο ισχύει και για το «x». Ας ελέγξουμε ότι το γράφημα είναι αληθινό στην εξίσωση. Μπορούμε να δούμε ότι όταν το «y» είναι μηδέν, τότε το «x» είναι ίσο με 1. Εφαρμογή της εξίσωσης:
καιΓ= 0 ⇒ ε0=1
Πράγματι, στα μαθηματικά γνωρίζουμε ότι οποιοσδήποτε αριθμός όταν αυξάνεται σε 0 οδηγεί σε 1.
Εφαρμογή στα οικονομικά και τα οικονομικά
Στον χρηματοοικονομικό τομέα, λαμβάνονται υπόψη μόνο τα θετικά πρακτικά, δεδομένου ότι χρησιμοποιούνται συνήθως για τον συνεχή υπολογισμό των αποδόσεων στις εισηγμένες τιμές των χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων. Οι τιμές είναι συνήθως θετικές, επομένως πληρούν τον περιορισμό (x> 0), όπου x είναι η τιμή σε αυτήν την περίπτωση.
Η πιο συχνή χρήση στα οικονομικά είναι σε οικονομετρικές αναλύσεις, όπου απλές και / ή πολλαπλές παλινδρομήσεις ενσωματώνουν λογάριθμους στις εξισώσεις προκειμένου να παρέχουν σταθερότητα στους παλινδρόμους, να μειώνουν τις άτυπες παρατηρήσεις και να καθιερώνουν διαφορετικές απόψεις της εκτίμησης, μεταξύ άλλων εφαρμογών.
Τελικά, ο λόγος που οι φυσικοί λογάριθμοι χρησιμοποιούνται στην οικονομετρία είναι να διευκολύνουν τις λειτουργίες που θα εκτελεστούν. Οι λογάριθμοι έχουν ορισμένες ιδιότητες που επιτρέπουν την εκτέλεση πολύπλοκων μαθηματικών λειτουργιών σχετικά γρήγορα και εύκολα.