Τυπική ή τυπική απόκλιση

Η τυπική απόκλιση ή η τυπική απόκλιση είναι ένα μέτρο που παρέχει πληροφορίες σχετικά με τη μέση διασπορά μιας μεταβλητής. Η τυπική απόκλιση είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν.

Για να κατανοήσουμε αυτήν την έννοια πρέπει να αναλύσουμε 2 θεμελιώδεις έννοιες.

• Μαθηματική προσδοκία, αναμενόμενη τιμή ή μέσος όρος: Είναι ο μέσος όρος της σειράς δεδομένων μας.
• Απόκλιση: Η απόκλιση είναι ο διαχωρισμός που υπάρχει μεταξύ οποιασδήποτε τιμής της σειράς και του μέσου όρου.

Δείτε όλα τα μέτρα διασποράς

Τώρα, κατανοώντας αυτές τις δύο έννοιες, η τυπική απόκλιση θα υπολογιστεί παρόμοια με τη μέση τιμή. Αλλά λαμβάνοντας αποκλίσεις ως τιμές. Και παρόλο που αυτός ο συλλογισμός είναι διαισθητικός και λογικός, έχει ένα ελάττωμα που πρόκειται να ελέγξουμε με το ακόλουθο γράφημα.

Στην προηγούμενη εικόνα έχουμε 6 παρατηρήσεις, δηλαδή N = 6. Ο μέσος όρος των παρατηρήσεων αντιπροσωπεύεται από τη μαύρη γραμμή που βρίσκεται στο κέντρο του γραφήματος και είναι 3. Θα κατανοήσουμε με απόκλιση, τη διαφορά που υπάρχει μεταξύ οποιουδήποτε των παρατηρήσεων και της μαύρης γραμμής. Έχουμε λοιπόν 6 αποκλίσεις.

1. Απόκλιση -> (2-3) = -1
2. Απόκλιση -> (4-3) = 1
3. Απόκλιση -> (2-3) = -1
4. Απόκλιση -> (4-3) = 1
5. Απόκλιση -> (2-3) = -1
6. Απόκλιση -> (4-3) = 1

Όπως μπορούμε να δούμε αν προσθέσουμε τις 6 αποκλίσεις και διαιρέσουμε με το Ν (6 παρατηρήσεις), το αποτέλεσμα είναι μηδέν. Η λογική θα ήταν η μέση απόκλιση να είναι 1. Αλλά ένα μαθηματικό χαρακτηριστικό του μέσου σε σχέση με τις τιμές που το συνθέτουν είναι ακριβώς ότι το άθροισμα των αποκλίσεων είναι μηδέν. Πώς μπορούμε να το διορθώσουμε; Τετραγωνισμός των αποκλίσεων

Τάξη

Τύποι για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης

Το πρώτο είναι με το τετράγωνο των αποκλίσεων, διαιρώντας με τον συνολικό αριθμό των παρατηρήσεων και τέλος με την τετραγωνική ρίζα για να αναιρέσετε το τετράγωνο, έτσι ώστε:

Εναλλακτικά θα υπήρχε ένας άλλος τρόπος για τον υπολογισμό. Θα ήταν ένας μέσος όρος του αθροίσματος των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων. Δηλαδή, εφαρμόστε τον ακόλουθο τύπο:

Ωστόσο, αυτός ο τύπος δεν αποτελεί εναλλακτική λύση για την τυπική απόκλιση καθώς δίνει διαφορετικά αποτελέσματα. Στην πραγματικότητα, ο παραπάνω τύπος είναι η απόκλιση από το μέσο όρο. Η τυπική ή τυπική απόκλιση και η απόκλιση από τον μέσο όρο έχουν ομοιότητες αλλά δεν είναι οι ίδιες. Αυτή η τελευταία μορφή είναι γνωστή ως μέση απόκλιση.

Παράδειγμα υπολογισμού τυπικής απόκλισης

Θα ελέγξουμε πώς, με οποιονδήποτε από τους δύο τύπους που παρουσιάζονται, το αποτέλεσμα της τυπικής απόκλισης ή της μέσης απόκλισης είναι το ίδιο.

Σύμφωνα με τον τύπο διακύμανσης (τετραγωνική ρίζα):

Σύμφωνα με τον τύπο απόλυτης τιμής:

Όπως υπαγορεύει ο διαισθητικός υπολογισμός. Η μέση απόκλιση είναι 1. Αλλά, δεν είπαμε ότι ο τύπος για την απόλυτη τιμή και την τυπική απόκλιση έδωσε διαφορετικές τιμές; Ναι, αλλά υπάρχει μια εξαίρεση. Η μόνη περίπτωση όπου η τυπική απόκλιση και η απόκλιση από τον μέσο όρο δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα είναι η περίπτωση όπου όλες οι αποκλίσεις είναι ίσες με 1.

Η σχέση της τυπικής απόκλισης με τη διακύμανση

Με λίγα λόγια, η διακύμανση δεν είναι τίποτα περισσότερο από την τετράγωνη τυπική απόκλιση. Ή αυτό που έρχεται στο ίδιο πράγμα, η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Σχετίζονται ως εξής:

Μετά από αυτήν την εικόνα, είναι σαφές ότι ολόκληρος ο τύπος που βρίσκεται εντός της τετραγωνικής ρίζας είναι η διακύμανση. Ο λόγος που πρέπει να καταλάβετε ότι αυτό το μέρος είναι γνωστό ως η διακύμανση είναι ότι χρησιμοποιείται σε άλλους τύπους για τον υπολογισμό άλλων μετρήσεων. Έτσι, παρόλο που η τυπική απόκλιση είναι πιο διαισθητική για την ερμηνεία των αποτελεσμάτων, είναι επιτακτικό πώς υπολογίζεται η διαφορά.