Variancia - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Η διακύμανση είναι ένα μέτρο διασποράς που αντιπροσωπεύει τη μεταβλητότητα μιας σειράς δεδομένων σε σχέση με τη μέση τιμή της. Επισήμως, υπολογίζεται ως το άθροισμα των τετραγώνων υπολειμμάτων δια του συνόλου των παρατηρήσεων.

Μπορεί επίσης να υπολογιστεί ως τετράγωνη τυπική απόκλιση. Παρεμπιπτόντως, κατανοούμε το υπόλοιπο ως τη διαφορά μεταξύ της τιμής μιας μεταβλητής κάθε φορά και της μέσης τιμής ολόκληρης της μεταβλητής.

Πριν εξετάσουμε τον τύπο διακύμανσης, πρέπει να πούμε ότι η διακύμανση στα στατιστικά είναι πολύ σημαντική. Δεδομένου ότι είναι απλό μέτρο, μπορεί να παρέχει πολλές πληροφορίες σχετικά με μια συγκεκριμένη μεταβλητή.

Τύπος για τον υπολογισμό της διακύμανσης

Η μονάδα μέτρησης της διακύμανσης θα είναι πάντα η μονάδα μέτρησης που αντιστοιχεί στα δεδομένα αλλά τετράγωνη. Η διακύμανση είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Καθώς τα υπολείμματα είναι τετράγωνα, είναι μαθηματικά αδύνατο για τη διακύμανση να είναι αρνητική. Και έτσι δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το μηδέν.

Οπου

• Χ: μεταβλητή στην οποία θα υπολογιστεί η διακύμανση
• Χ_Εγώ: αριθμός παρατήρησης i της μεταβλητής X. μπορώ να λάβω τιμές μεταξύ 1 και n.
• ν: αριθμός παρατηρήσεων.
• Χ: Είναι ο μέσος όρος της μεταβλητής X.

Ή τι είναι το ίδιο:

Γιατί τα υπολείμματα τετράγωνα;

Ο λόγος για τον οποίο τα υπολείμματα είναι τετράγωνο είναι απλός. Εάν δεν τετράγωνα, το άθροισμα των υπολειμμάτων θα ήταν μηδέν. Είναι ιδιοκτησία απορριμμάτων. Έτσι, για να αποφευχθεί αυτό, όπως και με την τυπική απόκλιση, είναι τετράγωνα. Το αποτέλεσμα είναι η μονάδα μέτρησης στην οποία τα δεδομένα μετρώνται αλλά τετράγωνα.

Για παράδειγμα, εάν είχαμε δεδομένα σχετικά με τους μισθούς ενός συνόλου ατόμων σε ευρώ, τα δεδομένα που δίνουν τη διακύμανση θα είναι σε τετραγωνικά ευρώ. Για να έχει νόημα η ερμηνεία, θα υπολογίζαμε την τυπική απόκλιση και θα μεταφέρουμε τα δεδομένα σε ευρώ.

1. Απόκλιση -> (2-3) = -1
2. Απόκλιση -> (4-3) = 1
3. Απόκλιση -> (2-3) = -1
4. Απόκλιση -> (4-3) = 1
5. Απόκλιση -> (2-3) = -1
6. Απόκλιση -> (4-3) = 1

Εάν προσθέσουμε όλες τις αποκλίσεις, το αποτέλεσμα είναι μηδέν.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης;

Μια ερώτηση που θα μπορούσε να τεθεί, και με καλό λόγο, θα ήταν η διαφορά μεταξύ διακύμανσης και τυπικής απόκλισης. Στην πραγματικότητα, έρχονται να μετρήσουν το ίδιο πράγμα. Η διακύμανση είναι η τυπική τετράγωνη απόκλιση. Ή το αντίθετο, η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Η τυπική απόκλιση γίνεται για να μπορεί να λειτουργεί στις αρχικές μονάδες μέτρησης. Φυσικά, όπως είναι φυσιολογικό, μπορεί κανείς να αναρωτηθεί, ποια είναι η χρήση της διακύμανσης ως έννοια; Λοιπόν, αν και η ερμηνεία της τιμής που επιστρέφει δεν μας δίνει πολλές πληροφορίες, ο υπολογισμός της είναι απαραίτητος για να ληφθεί η τιμή άλλων παραμέτρων.

Για τον υπολογισμό της συνδιακύμανσης χρειαζόμαστε τη διακύμανση και όχι την τυπική απόκλιση, για τον υπολογισμό ορισμένων οικονομετρικών πινάκων χρησιμοποιείται η διαφορά και όχι η τυπική απόκλιση Είναι θέμα άνεσης όταν εργάζεστε με τα δεδομένα σύμφωνα με τους υπολογισμούς.

Παράδειγμα υπολογισμού διακύμανσης

Θα κερδίσουμε μια σειρά δεδομένων για τους μισθούς. Έχουμε πέντε άτομα, το καθένα με διαφορετικό μισθό:

Juan: 1.500 ευρώ

Pepe: 1.200 ευρώ

Χοσέ: 1.700 ευρώ

Μιγέλ: 1.300 ευρώ

Mateo: 1.800 ευρώ

Ο μέσος μισθός που χρειαζόμαστε για τον υπολογισμό μας είναι ((1.500 + 1.200 + 1.700 + 1.300 + 1.800) / 5) 1.500 ευρώ.

Δεδομένου ότι ο τύπος διακύμανσης στην αναλυμένη του μορφή διατυπώνεται ως εξής:

Θα διαπιστώσουμε ότι πρέπει να υπολογιστεί έτσι ώστε:

Το αποτέλεσμα είναι 52.000 ευρώ σε τετράγωνο. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι όποτε υπολογίζουμε τη διακύμανση, έχουμε τις μονάδες μέτρησης τετράγωνες. Για να το μετατρέψουμε σε ευρώ, σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει να εκτελέσουμε την τυπική απόκλιση. Το κατά προσέγγιση αποτέλεσμα θα είναι 228 ευρώ. Αυτό σημαίνει ότι, κατά μέσο όρο, η διαφορά μεταξύ των μισθών των διαφόρων ατόμων θα είναι 228 ευρώ.