Πεπερασμένα σύνολα - Τι είναι, ορισμός και έννοια
Τα πεπερασμένα σύνολα είναι εκείνα των οποίων η καρδινία, ή ο αριθμός των στοιχείων σε αυτό, είναι ίσος με έναν φυσικό αριθμό.
Ένα πεπερασμένο σύνολο, με άλλα λόγια, είναι ένα που έχει έναν αριθμό στοιχείων που μπορούν να μετρηθούν. Όντας το αντίθετο από ένα άπειρο σετ, όπου τα στοιχεία είναι μετρήσιμα.
Ένας πιο επίσημος τρόπος έκφρασης ότι ένα σύνολο είναι πεπερασμένο είναι ότι τα στοιχεία αυτού του συνόλου, τα οποία θα ονομάσουμε M, μπορούν να συνδυαστούν με τα στοιχεία του συνόλου (1, 2,…, n), τα οποία θα ονομάσουμε N. Αυτή είναι μια ακολουθία ακεραίων όπου κάθε στοιχείο είναι ίσο με το προηγούμενο, συν τη μονάδα.
Έτσι, τα στοιχεία των Μ και Ν μπορούν να ζευγαρωθούν ένα προς ένα (το οποίο είναι γνωστό ως αλληλογραφία one-to-one), χωρίς να αφήσουμε κανένα στοιχείο από τα δύο σύνολα.
Λέγεται επίσης ότι τα Μ και Ν είναι ισοδύναμα, δηλαδή, για κάθε στοιχείο του Μ υπάρχει ένα στοιχείο του Ν.
Επιπλέον, ο αριθμός n (το μεγαλύτερο στοιχείο του συνόλου N) συμπίπτει με τον αριθμό των στοιχείων του M, όπου n είναι ο καρδινάλιος, ο καρδινάλιος ή η ισχύς του Ν, και η σημείωσή του είναι κάρτα (N), | N | ή # Ν.
Πεπερασμένα παραδείγματα
Μερικά παραδείγματα πεπερασμένων σετ θα ήταν τα εξής:
- Μονά ακέραιοι αριθμοί μεγαλύτεροι από 13 και λιγότεροι από 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- Οι Ωκεανοί της Γης: Ατλαντικός, Ειρηνικός, Ινδός, Αρκτική, Ανταρκτική
- Ο κατάλογος των είκοσι μαθητών που ανήκουν σε μια τάξη.
Ιδιότητες πεπερασμένων συνόλων
Μεταξύ των κύριων ιδιοτήτων των πεπερασμένων συνόλων, είναι αυτές που εκτίθενται παρακάτω:
- Η ένωση δύο ή περισσότερων πεπερασμένων σετ οδηγεί σε ένα πεπερασμένο σετ.
- Η τομή (τα κοινά στοιχεία) ενός πεπερασμένου σετ με ένα ή περισσότερα σύνολα είναι πεπερασμένη.
- Το υποσύνολο ενός πεπερασμένου συνόλου είναι επίσης πεπερασμένο.
- Το υποσύνολο C ενός πεπερασμένου συνόλου M χαρακτηρίζεται από το ότι έχει μικρότερο αριθμό στοιχείων από το M. Δηλαδή, είναι αλήθεια ότι: Εάν C ⊊ M και | M | = n, τότε | C | <n (Το σύμβολο ⊊ σημαίνει ότι το C είναι ένα κατάλληλο υποσύνολο του M. Δηλαδή, όλα τα στοιχεία του C περιέχονται στο M, αλλά υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του M που δεν είναι στο C).
- Το σετ ισχύος ενός πεπερασμένου σετ M, το οποίο περιλαμβάνει όλα τα υποσύνολα που μπορούν να σχηματιστούν με τα στοιχεία του σετ M (συμπεριλαμβανομένου του κενού σετ ή ∅), είναι πεπερασμένο και έχει 2ν στοιχεία, όπου n είναι ο αριθμός των στοιχείων στο M. Για παράδειγμα, εάν έχουμε:
(1, 3, 41)
Το σετ ισχύος θα είναι: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
Όπως μπορούμε να δούμε, το σύνολο ισχύος ενός πεπερασμένου σετ τριών στοιχείων έχει οκτώ (2)3στοιχεία.
