Ευκλείδεια, Ευκλείδεια ή παραβολική γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που αναπτύσσεται σε ευκλείδεις χώρους. Αυτά είναι τα περιβάλλοντα που πληρούν τα αξιώματα του Έλληνα μαθηματικού Ευκλείδη.
Αυτός ο τύπος γεωμετρίας υποστηρίζεται από τον Euclid στο The Elements, μια πραγματεία που χρονολογείται από τον 4ο αιώνα π.Χ. Αυτό θεωρείται ένα από τα πιο σημαντικά κείμενα στην ιστορία και συλλέγει από βασικές έννοιες της γεωμετρίας έως το διάσημο Πυθαγόρειο θεώρημα.
Από την Ευκλείδεια γεωμετρία, αναλύονται οι ιδιότητες των διαφόρων στοιχείων, τόσο μονοδιάστατα (όπως γραμμές και σημεία) όσο και δισδιάστατα όπως πολύγωνα (τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα κ.λπ.).
Ακόμη και από την ευκλείδεια γεωμετρία, μπορούν να αναλυθούν τρισδιάστατα σχήματα, αρκεί να πληρούνται τα αξιώματα του Ευκλείδη (τα οποία θα αναλύσουμε αργότερα), συγκεκριμένα, το πέμπτο από αυτά.
Δηλαδή, αν και συχνά συγχέονται, η γεωμετρία του επιπέδου είναι μόνο ένα μέρος της ευκλείδειας γεωμετρίας που είναι αφιερωμένο στη μελέτη των γεωμετρικών σχημάτων σε ένα δισδιάστατο επίπεδο.
Τα αξιώματα του Ευκλείδη
Τα πέντε αξιώματα του Euclid είναι τα ακόλουθα:
- Λαμβάνοντας υπόψη δύο σημεία, μπορεί να σχεδιαστεί μια γραμμή που τα συνδέει.
- Κάθε τμήμα μπορεί να επεκταθεί συνεχώς προς οποιαδήποτε κατεύθυνση.
- Είναι δυνατόν να σχεδιάσετε έναν κύκλο στο κέντρο σε οποιοδήποτε σημείο και οποιαδήποτε ακτίνα.
- Όλες οι ορθές γωνίες είναι σύμφωνες, δηλαδή έχουν το ίδιο μέτρο (90º).
- Το πέμπτο αξίωμα του Euclid μας λέει ότι αν μια γραμμή τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει, στην ίδια πλευρά, δύο οξείες εσωτερικές γωνίες (κάτω από 90º), αυτές οι δύο γραμμές παρατεταμένα διασταυρώνονται επ 'αόριστον από την πλευρά στην οποία βρίσκονται αυτές οι γωνίες (βλ. Κάτω εικόνα).
Όπως μπορούμε να δούμε στο παραπάνω σχήμα, εάν η γραμμή Α και η γραμμή Β εκτείνονται προς τα πάνω, τέμνονται. Δηλαδή, δεν είναι παράλληλες.
Περιορισμοί της ευκλείδειας γεωμετρίας
Η ευκλείδεια γεωμετρία έχει περιορισμούς, ιδιαίτερα επειδή δεν είναι δυνατόν να μελετηθεί ένας τρισδιάστατος χώρος όπου δεν κατέχει το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη.
Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν επέστησε την προσοχή στην ανάγκη να καταφύγουμε σε μη-Ευκλείδεια γεωμετρία για να μελετήσουμε τον κυρτό χωροχρόνο, δηλαδή αυτό που δεν είναι γραμμικό (όπως παραδοσιακά συλλαμβάνεται) Αυτή είναι μια από τις συνέπειες της γενικής θεωρίας της σχετικότητας, η οποία υποδηλώνει ότι ο χώρος δεν είναι σαν ένα ευκλείδειο επίπεδο, αλλά ότι μπορεί να παρουσιάσει παραμορφώσεις.