Η γεωμετρία του φράκταλ είναι αυτός ο κλάδος της γεωμετρίας που μελετά τα φράκταλ. Αυτά είναι σύνθετα αντικείμενα, με μια δομή που επαναλαμβάνεται όταν το παρατηρούμε σε διαφορετικές κλίμακες.
Τα fractals, με άλλα λόγια, αποτελούνται από μέρη που είναι παρόμοια με το σύνολο και είναι ακανόνιστες δομές. Ας σκεφτούμε ένα κεφάλι μπρόκολου, το οποίο όταν το χωρίζουμε χωρίζεται σε αρκετά μικρότερα μπρόκολα.
Η γεωμετρία του φράκταλ γεννήθηκε από την ανάγκη για καλύτερη προσέγγιση στην πραγματικότητα, καθώς η γεωμετρία του επιπέδου και η γεωμετρία των διαστημικών μελετών φιγούρες και σώματα που, πολύ δύσκολα, βρίσκουμε στη φύση.
Σκεφτείτε ότι τα βουνά δεν είναι κώνοι και ότι ακόμη και οι πυραμίδες της Αιγύπτου, αν τους κοιτάξουμε προσεκτικά, θα έχουν ορισμένες ανωμαλίες στις επιφάνειές τους. Αυτές οι ατέλειες ονομάζονται με την ποιότητα της τραχύτητας και είναι ένα χαρακτηριστικό που προσθέτει fractal γεωμετρία σε αντικείμενα, τα οποία δεν έχουν πλέον μόνο περίμετρο, περιοχή και όγκο.
Προέλευση της γεωμετρίας του φράκταλ
Η προέλευση της γεωμετρίας του φράκταλ είναι πρωτοπόρος από τον μαθηματικό Benoit Mandelbrot, καθώς και το μεγαλύτερο λογοτεχνικό του έργο: "Fractal Geometry of Nature", που δημοσιεύθηκε το 1982.
Η λέξη fractal προέρχεται από τη λατινική λέξη "fractus", που σημαίνει σπασμένη ή σπασμένη, και επινοήθηκε από τον Mandelbrot το 1975.
Αξίζει να σημειωθεί ότι, παρόλο που ο Mandelbrot επισημοποίησε τη μελέτη των οικονομικών φράκταλ, δεν ήταν ο πρώτος που παρατήρησε την ύπαρξη φράκταλ στη φύση. Για παράδειγμα, αν κοιτάξουμε το έργο του γνωστού ιαπωνικού ζωγράφου Katsushika Hokusai, θα δούμε αυτήν την ιδέα να εφαρμόζεται (και ο ίδιος ο Mandelbrot το ανέφερε σε μια συνέντευξη). Για παράδειγμα, στον πίνακα "Το Μεγάλο Κύμα", παρατηρούμε πώς μέσα στο κύμα υπάρχουν άλλα μικρότερα κύματα.
Χαρακτηριστικά ενός φράκταλ
Τα κύρια χαρακτηριστικά ενός φράκταλ είναι τα ακόλουθα:
- Αυτο-ομοιότητα: Αναφέρεται σε όσα έχουμε ήδη αναφέρει. Αν κοιτάξουμε ένα μέρος του φράκταλ σε μεγαλύτερη κλίμακα (πιο στενά) θα μοιάζει με το ίδιο το αντικείμενο. Δηλαδή, το μέρος είναι παρόμοιο με το σύνολο, αν και αυτό δεν είναι πάντα ακριβώς αλήθεια. Για παράδειγμα, ας φανταστούμε έναν ρόμβο που αποτελείται από πολλούς μικρούς ρόμβους. Αν και το μέγεθος αυτών των ρόμβων ποικίλλει λίγο, θα ήταν ένα φράκταλ.
- Η διάσταση του φράκταλ δεν ισούται με την τοπολογική διάσταση: Για να εξηγήσουμε την τοπολογική διάσταση, ας φανταστούμε ότι έχουμε ένα επίπεδο χωρισμένο σε πλέγματα, όπως ένα πλέγμα. Έτσι σχεδιάζω μια γραμμή που περνά από 2 πλέγματα. Αν διαιρούσα όλα τα πλέγματα πλέγματος σε δύο, η γραμμή θα περνούσε από 4 πλέγματα. Δηλαδή, πολλαπλασιάζεται με το 2, που ισούται με τον συντελεστή μείωσης (2) που αυξάνεται στο 1 (2 = 21), που αξίζει τον πλεονασμό, είναι ο αριθμός των διαστάσεων της γραμμής. Τώρα, εάν έχουμε ένα πολύγωνο, μια δισδιάστατη φιγούρα, κάτι παρόμοιο συμβαίνει. Για παράδειγμα, εάν έχουμε ένα τετράγωνο που εκτείνεται σε τέσσερα πλέγματα και εφαρμόσουμε έναν συντελεστή μείωσης 2 ξανά, το τετράγωνο θα εκτείνεται σε 16 πλέγματα. Δηλαδή, ο αριθμός των πλεγμάτων (4) πολλαπλασιάζεται επί 4, ο οποίος αυξάνεται σε 2 (2 = 2)2), ο εκθέτης είναι ο αριθμός των διαστάσεων τετράγωνο. Ωστόσο, όλα τα παραπάνω δεν ισχύουν στα fractals.
- Δεν διακρίνονται σε κανένα σημείο: Αυτό σημαίνει, σε μαθηματικούς όρους, ότι το παράγωγο της αντιπροσωπευόμενης συνάρτησης δεν μπορεί να υπολογιστεί. Σε οπτικούς όρους, αυτό σημαίνει ότι το γράφημα δεν είναι συνεχές, αλλά έχει κορυφές, οπότε δεν είναι δυνατόν να γίνει η παραγωγή.
Εφαρμογή της γεωμετρίας του φράκταλ
Η γεωμετρία του φράκταλ μπορεί να εφαρμοστεί σε διάφορα πεδία. Για παράδειγμα, το 1940, ο Lewis Fry Richardson είχε παρατηρήσει ότι άλλα σύνορα μεταξύ χωρών και χωρών άλλαξαν ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης. Δηλαδή, αν μετρήσουμε ένα γεωγραφικό περίγραμμα, το αποτέλεσμα θα διαφέρει ανάλογα με το μήκος του χάρακα που χρησιμοποιείται. Αυτό χρησίμευσε ως αναφορά για τον Mandelbrot στο άρθρο του 1967, που δημοσιεύθηκε στο περιοδικό Science: "Πόσο καιρό είναι η ακτή της Μεγάλης Βρετανίας;"
Μπορεί να εξηγηθεί, εάν λάβουμε υπόψη ότι οι γεωγραφικές περιοχές είναι φράκταλ και, όπως τις βλέπουμε σε μεγαλύτερη κλίμακα, βλέπουμε περισσότερες παρατυπίες.
Μια άλλη εφαρμογή της γεωμετρίας φράκταλ είναι η ανάλυση σεισμικών κινήσεων και κινήσεων στο χρηματιστήριο.
Επιπλέον, πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι τα fractals έχουν χρησιμεύσει ως έμπνευση για καλλιτέχνες όπως το προαναφερθέν Hokusa, και έχουμε επίσης την περίπτωση του Jackson Pollock.