Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης είναι ένα παράδοξο που παρατηρείται από τον Νικόλαο Μπερνούλι και αυτό έχει το λόγο να είναι στο τζόγο. Αυτό το παράδοξο μας λέει ότι, στη θεωρία των αποφάσεων, γίνονται δεκτά όλα τα στοιχήματα, ανεξάρτητα από την αξία τους, ακόμη και αν η εν λόγω τιμή μας δείχνει ότι δεν είναι λογική απόφαση.
Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης, για να το καταλάβουμε σωστά, ήταν ένα παράδοξο που περιέγραψε ο Νικόλαος Μπερνούλι, αφού παρατήρησε τον τζόγο, γι 'αυτό και υπάρχει αυτό το παράδοξο.
Θεωρία παιχνιδιώνΥπό αυτήν την έννοια, το παράδοξο μας λέει ότι η θεωρία των διατυπωμένων αποφάσεων μάς δείχνει ότι η λογική απόφαση, σε ένα παιχνίδι στοιχημάτων, είναι όλα, ανεξάρτητα από το ποσό που υποθέτει κάθε στοίχημα. Ωστόσο, αναλύοντας σωστά αυτήν την κατάσταση και παρακολουθώντας με ακρίβεια τη θεωρία, παρατηρούμε ότι κανένα λογικό ον δεν θα επέλεγε να λάβει την απόφαση να στοιχηματίσει ένα χρηματικό ποσό κοντά στο άπειρο, αν και η θεωρία δείχνει ότι είναι λογικό. Για το λόγο αυτό, προκύπτει το παράδοξο.
Αρχικά, το παράδοξο παρατηρείται από τον Νικόλαο Μπερνούλι, όπως φαίνεται σε μια επιστολή που έστειλε στον Pierre de Montmort, Γάλλο αριστοκράτη και μαθηματικό, στις 9 Σεπτεμβρίου 1713.
Ωστόσο, επειδή η μελέτη του Νικολάου δεν απέδωσε αποτελέσματα, παρουσίασε το παράδοξο στον ξάδελφό του Ντάνιελ Μπερνούλι το 1715, μαθηματικό ολλανδικής καταγωγής και πρύτανης του Πανεπιστημίου της Βασιλείας, ο οποίος, συναντώντας στην Αγία Πετρούπολη με μια εξέχουσα ομάδα επιστημόνων, και μετά χρόνια έρευνας, δημοσίευσε το 1738 ένα νέο σύστημα μέτρησης στο έργο του «Έκθεση μιας νέας θεωρίας στη μέτρηση κινδύνου».
Το μοντέλο που πρότεινε ο Ντάνιελ, σε αντίθεση με αυτό που πρότεινε ο Νικόλαος, θέτει τα θεμέλια για αυτό που αργότερα θα τελειοποιήσει και θα ολοκληρώσει τη θεωρία της αναμενόμενης χρησιμότητας.
Παράδοξος τύπος Αγίας Πετρούπολης
Η διατύπωση που πρότεινε ο Νικόλαος Μπερνούλι στον ξάδελφό του και τον Πιερ ντε Μοντμορτ έχει ως εξής:
Ας φανταστούμε ένα παιχνίδι τζόγου, στο οποίο ο παίκτης, προφανώς, πρέπει να πληρώσει ένα ποσό για να συμμετάσχει.
Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης ποντάρει σε ουρές και πετάει το κέρμα διαδοχικά μέχρι τις ουρές. Μετά τις ουρές, το παιχνίδι σταματά και ο παίκτης παίρνει $ 2 n.
Επομένως, αν ακολουθήσει ουρά, ο παίκτης κερδίζει πρώτα 2 1, δηλαδή 2 $. Αλλά αν ουρές πάλι, θα πάρει 2 2, που είναι $ 4, και ούτω καθεξής. Εάν βγει ξανά, θα είναι 8 δολάρια, το οποίο ισοδυναμεί με 2 3. ενώ, αν βγει για τέταρτη φορά, το έπαθλο θα είναι 16 δολάρια, που είναι η αναπαράσταση 2 4.
Έτσι, η ερώτηση του Νικολάου ήταν η εξής: Λαμβάνοντας υπόψη την ακολουθία που αναφέρθηκε παραπάνω και το κέρδος, πόσο θα ήταν διατεθειμένος να πληρώσει ο παίκτης για αυτό το παιχνίδι χωρίς να χάσει τον ορθολογισμό;
Παράδειγμα του παράδοξου της Αγίας Πετρούπολης
Λαμβάνοντας υπόψη τη διατύπωση που πρότεινε ο Νικόλαος και την αμφιβολία που έθεσε στον Γάλλο μαθηματικό και τον ξάδελφό του, ας δούμε τον λόγο αυτού του παράδοξου, για παράδειγμα, για να κατανοήσουμε τι εννοούμε.
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να γνωρίζουμε ότι, πριν ξεκινήσει το παιχνίδι, έχουμε έναν άπειρο αριθμό πιθανών αποτελεσμάτων. Λοιπόν, ακόμη και αν η πιθανότητα είναι 1/2, οι ουρές μπορεί να μην βγουν μέχρι το 8ο ρολό.
Επομένως, η πιθανότητα εμφάνισης αυτού του σταυρού στο ρίξιμο k είναι:
Pk = 1 / 2k
Επίσης, το κέρδος είναι 2k.
Συνεχίζοντας την εξέλιξη, οι πρώτες ουρές στο 1ο ρολό παρουσιάζουν κέρδος 21 ($ 2) και πιθανότητα 1/2. Οι ουρές στη 2η προσπάθεια έχουν κέρδος 22 (4 δολάρια) και πιθανότητα 1/22; ενώ, αν ακολουθήσει η τρίτη προσπάθεια, ο παίκτης έχει νίκη 23 ($ 8) και πιθανότητα 1/23. Όπως μπορούμε να δούμε, μια σχέση που επεκτείνεται, αρκεί να προσθέτουμε τρέχει.
Πριν συνεχίσουμε, πρέπει να σημειωθεί ότι στη θεωρία αποφάσεων ονομάζουμε μαθηματική προσδοκία (EM) ή αναμενόμενη νίκη ενός παιχνιδιού, το άθροισμα των βραβείων, που σχετίζεται με καθένα από τα πιθανά αποτελέσματα του παιχνιδιού, και όλα σταθμισμένα από το πιθανότητα να συμβεί καθένα από αυτά τα αποτελέσματα.
Εάν λάβουμε υπόψη την προσέγγιση που δείχνει αυτό το παράδοξο, βλέπουμε ότι όταν παίζουμε η πιθανότητα νίκης 2 δολαρίων είναι 1/2, αλλά, επιπλέον, η πιθανότητα νίκης 4 είναι 1/4, ενώ η πιθανότητα νίκης 8 δολαρίων είναι 1/8. Αυτό, έως ότου επιτευχθούν καταστάσεις όπως η νίκη 64 δολαρίων, η πιθανότητα αυτής της υπόθεσης να είναι 1/64.
Έτσι, με αυτά τα αποτελέσματα, αν υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία, ή αυτό που γνωρίζουμε ως την αναμενόμενη νίκη του παιχνιδιού, πρέπει να προσθέσουμε τα κέρδη όλων των πιθανών αποτελεσμάτων σταθμισμένα από την πιθανότητα εμφάνισής τους, έτσι το αποτέλεσμα μας δείχνει άπειρο αξία.
Εάν ακολουθήσουμε τη θεωρία της επιλογής, μας λέει ότι πρέπει να στοιχηματίσουμε οποιοδήποτε ποσό για το απλό γεγονός ότι κάθε απόφαση είναι ευνοϊκή για εμάς. Τώρα, το γεγονός ότι είναι παράδοξο είναι επειδή, λογικά, ένας παίκτης δεν θα στοιχηματίσει επ 'αόριστον, ακόμα κι αν η θεωρία τον ωθεί να το κάνει.
Ένα εξέχον παράδοξο
Πολλοί ήταν οι μαθηματικοί που προσπάθησαν να αποκρυπτογραφήσουν το παράδοξο που πρότεινε ο Bernoulli, ωστόσο, υπάρχουν επίσης πολλοί που δεν μπόρεσαν να το λύσουν.
Έτσι, υπάρχουν πολλά παραδείγματα που μας δείχνουν πώς το παράδοξο προσπάθησε να λυθεί από μαθηματικούς που έχουν ασχοληθεί τόσο με τη δομή του παιχνιδιού όσο και με τις αποφάσεις των ίδιων των ατόμων. Ωστόσο, μέχρι σήμερα δεν μπορούμε να βρούμε μια έγκυρη λύση.
Και είναι ότι, για να πάρετε μια ιδέα για την πολυπλοκότητα αυτού του παράδοξου, λαμβάνοντας υπόψη τη θεωρία της επιλογής σε αυτό το παράδειγμα, υποθέτουμε ως πιθανό έπαθλο, μετά τον υπολογισμό, έναν άπειρο αριθμό νομισμάτων που, ακόμη και υποθέτοντας ότι ήταν δυνατό, θα ήταν ασυμβίβαστο με το ίδιο το νομισματικό σύστημα, καθώς είναι ένα χρήμα που, αντίθετα με αυτό που λέει το παράδοξο, είναι περιορισμένο.
