Μη γραμμικός προγραμματισμός - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Ο μη γραμμικός προγραμματισμός είναι μια μέθοδος με την οποία βελτιστοποιείται μια αντικειμενική συνάρτηση, είτε μεγιστοποιώντας είτε ελαχιστοποιώντας. Αυτό, λαμβάνοντας υπόψη τους διαφορετικούς περιορισμούς που δίνονται. Χαρακτηρίζεται επειδή η αντικειμενική συνάρτηση, ή μερικοί από τους περιορισμούς, μπορεί να είναι μη γραμμική.

Ο μη γραμμικός προγραμματισμός είναι, συνεπώς, μια διαδικασία όπου η συνάρτηση που θα μεγιστοποιηθεί ή οποιοσδήποτε από τους περιορισμούς, είναι διαφορετική από μια γραμμική ή εξίσωση πρώτου βαθμού, όπου οι μεταβλητές αυξάνονται στην ισχύ 1.

Πρέπει να θυμόμαστε ότι μια γραμμική εξίσωση είναι μια μαθηματική ισότητα που μπορεί να έχει ένα ή περισσότερα άγνωστα. Έτσι, έχει την ακόλουθη βασική μορφή, όπου a και b είναι οι σταθερές, ενώ x και y είναι οι μεταβλητές:

ax + b = y

Θα πρέπει να προστεθεί ότι δεν θα συμμορφώνονται όλα αυτά τα στοιχεία με αυτόν τον τύπο προγραμματισμού. Για παράδειγμα, μπορεί να είναι ότι η αντικειμενική συνάρτηση είναι μια εξίσωση του δεύτερου βαθμού και μία από τις μεταβλητές είναι τετράγωνη, πληρώνοντας την ακόλουθη μορφή:

y = τσεκούρι²+ bx + γ

Τώρα, μέσω μη γραμμικού προγραμματισμού, αυτή η λειτουργία θα μπορούσε να βελτιστοποιηθεί, βρίσκοντας τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή του y. Αυτό, λαμβάνοντας υπόψη ότι το x υπόκειται σε ορισμένους περιορισμούς.

Στοιχεία μη γραμμικού προγραμματισμού

Τα κύρια στοιχεία του μη γραμμικού προγραμματισμού είναι τα ακόλουθα:

• Αντικειμενική λειτουργία: Είναι η λειτουργία που βελτιστοποιείται, είτε μεγιστοποιώντας είτε ελαχιστοποιώντας το αποτέλεσμα.
• Περιορισμοί: Αυτές είναι οι προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται κατά τη βελτιστοποίηση της αντικειμενικής λειτουργίας. Μπορεί να είναι αλγεβρικές εξισώσεις ή ανισότητες.

Άσκηση μη γραμμικού προγραμματισμού

Ας δούμε, για να ολοκληρώσουμε, μια μη γραμμική άσκηση προγραμματισμού.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακόλουθη λειτουργία:

y = 25 + 10x-x²

Έχουμε επίσης τον ακόλουθο περιορισμό:

y = 50-3x

Όπως μπορούμε να δούμε στο γράφημα, η αντικειμενική συνάρτηση και ο περιορισμός τέμνονται σε δύο σημεία, αλλά όπου το y μεγιστοποιείται είναι όταν x = 2.3, όπου y = 43 (τα δεκαδικά είναι κατά προσέγγιση).

Τα σημεία αποκοπής μπορούν να βρεθούν εξισώνοντας και τις δύο εξισώσεις:

25 + 10x-x²= 50-3x

0 = x²-13x + 25

Στη συνέχεια, η παραπάνω τετραγωνική εξίσωση έχει δύο λύσεις ή ρίζες που μπορούν να βρεθούν με τους ακόλουθους τύπους, όπου a = 1, b = -13 και c = 25.

Έτσι, βρίσκουμε ότι x1 = 2.3467 (y = 43) και x2 = 10.653 (y = 18).

Πρέπει να προειδοποιήσουμε ότι αυτός ο τύπος προγραμματισμού είναι πιο περίπλοκος από τον γραμμικό και ότι δεν υπάρχουν τόσα πολλά εργαλεία διαθέσιμα στο διαδίκτυο για την επίλυση αυτού του τύπου βελτιστοποίησης. Το παράδειγμα που παρουσιάζεται είναι μια πολύ απλοποιημένη περίπτωση.