Διανύσματα και ιδιοτιμές - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Τα ιδιοδιανύσματα είναι διανύσματα πολλαπλασιασμένα με μια ιδιοτιμή στους γραμμικούς μετασχηματισμούς μιας μήτρας. Οι ιδιοτιμές είναι σταθερές που πολλαπλασιάζουν τους ιδιοδιανύσματα στους γραμμικούς μετασχηματισμούς μιας μήτρας.

Με άλλα λόγια, οι ιδιοδιανύσματα μεταφράζουν τις πληροφορίες από την αρχική μήτρα στον πολλαπλασιασμό των τιμών και μια σταθερά. Οι ιδιοτιμές είναι αυτή η σταθερά που πολλαπλασιάζει τα ιδιοδιανύσματα και συμμετέχει στον γραμμικό μετασχηματισμό της αρχικής μήτρας.

Αν και το όνομά του στα Ισπανικά είναι πολύ περιγραφικό, στα Αγγλικά, καλούνται οι ιδιοκτήτες ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοτιμές, ιδιοτιμές.

Προτεινόμενα άρθρα: τυπολογίες μήτρας, αντίστροφη μήτρα, καθοριστικός παράγοντας μιας μήτρας.

Ίδια διανύσματα

Τα ιδιοδιανύσματα είναι σύνολα στοιχείων που πολλαπλασιάζουν οποιαδήποτε σταθερά, είναι ισοδύναμα με τον πολλαπλασιασμό της αρχικής μήτρας και των συνόλων στοιχείων.

Μαθηματικά, ένας ιδιοκτήτηςΒ= (εδ₁,…, V_ν) ενός τετραγωνικού πίνακαΕρ είναι οποιοδήποτε διάνυσμαΒ που ικανοποιεί την ακόλουθη έκφραση για οποιαδήποτε σταθεράη:

QV = hV

Ιδιότητες

Η σταθερά η είναι η ιδιοτιμή που ανήκει στον ιδιοκτήτη Β.

Οι ιδιοτιμές είναι οι πραγματικές ρίζες (ρίζες που έχουν πραγματικούς αριθμούς ως λύση) που βρίσκουμε μέσω της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

Χαρακτηριστικά των ιδιοτιμών

• Κάθε ιδιοτιμή έχει άπειρους ιδιοδιανύσματα, καθώς υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί που μπορούν να είναι μέρος κάθε ιδιοδιανύσματος.
• Είναι κλίμακες, μπορεί να είναι πολύπλοκοι αριθμοί (όχι πραγματικοί) και μπορεί να είναι πανομοιότυποι (περισσότερες από μία ίσες ιδιοτιμές).
• Υπάρχουν τόσες ιδιοτιμές όσο και αριθμός σειρών (Μ) ή στήλες (ν) έχει τον αρχικό πίνακα.

Διανύσματα και ιδιοτιμές

Υπάρχει μια γραμμική σχέση εξάρτησης μεταξύ φορέων και ιδιοτιμών καθώς οι ιδιοτιμές πολλαπλασιάζουν τους ιδιοδιανύσματα.

Μαθηματικά

Αν το V είναι ιδιοδιανύσματα του πίνακαΖ Γ η είναι η ιδιοτιμή του πίνακα Ζ, έπειταhV είναι ένας γραμμικός συνδυασμός μεταξύ διανυσμάτων και ιδιοτιμών.

Χαρακτηριστική συνάρτηση

Η χαρακτηριστική συνάρτηση χρησιμοποιείται για την εύρεση των ιδιοτιμών μιας μήτραςΖ τετράγωνο.

Μαθηματικά

(Z - hl) V = 0

Οπου ΖΓη ορίζονται παραπάνω καιΕγώ είναι ο πίνακας ταυτότητας.

Οροι

Για να βρείτε διανύσματα και ιδιοτιμές μιας μήτρας, πρέπει να ικανοποιηθεί:

• Μήτρα Ζ τετράγωνο: ο αριθμός των σειρών (Μ) είναι ο ίδιος με τον αριθμό των στηλών (ν).
• Μήτρα Ζ πραγματικός. Οι περισσότεροι πίνακες που χρησιμοποιούνται στη χρηματοδότηση έχουν πραγματικές ρίζες. Τι πλεονέκτημα υπάρχει στη χρήση πραγματικών ριζών; Λοιπόν, οι ιδιοτιμές της μήτρας δεν πρόκειται ποτέ να είναι περίπλοκοι αριθμοί και αυτό, φίλοι, λύνει τη ζωή μας πολύ.
• Matrix (Ζ- γεια) μη αναστρέψιμο: καθοριστικό = 0. Αυτή η συνθήκη μας βοηθά να βρίσκουμε πάντα ιδιοδιανύσματα εκτός από το μηδέν Εάν βρήκαμε ιδιοδιανύσματα ίσο με 0, τότε ο πολλαπλασιασμός μεταξύ τιμών και ιδιοδιανυσμάτων θα ήταν μηδέν.

Πρακτικό παράδειγμα

Υποθέτουμε ότι θέλουμε να βρούμε τα διανύσματα και τις ιδιοτιμές του aΖ Μήτρα διαστάσεων 2 × 2:

1. Αντικαθιστούμε τον πίνακα Ζ ΓΕγώ στη χαρακτηριστική εξίσωση:

2. Διορθώνουμε τους παράγοντες:

3. Πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία σαν να αναζητούσαμε τον καθοριστικό παράγοντα της μήτρας.

4. Η λύση σε αυτήν την τετραγωνική εξίσωση είναι h = 2 και h = 5. Δύο ιδιοτιμές επειδή ο αριθμός γραμμών ή στηλών στη μήτρα Ζ είναι 2. Έτσι, βρήκαμε τις ιδιοτιμές της μήτρας Ζ το οποίο με τη σειρά του κάνει τον καθοριστικό 0.

5. Για να βρούμε τους ιδιοδιανύσματα θα πρέπει να λύσουμε:

6. Για παράδειγμα, (v₁, v₂) = (1,1) για h = 2 και (v₁, v₂) = (- 1,2) για h = 5: