Το μοντέλο Lagged Distributed Autoregressive (ADR), από τα Αγγλικά Μοντέλο αυτόματης διανεμημένης καθυστέρησης(ADL), είναι μια παλινδρόμηση που περιλαμβάνει μια νέα ανεξάρτητη μεταβλητή με καθυστέρηση εκτός από την εξαρτημένη μεταβλητή με καθυστέρηση.
Με άλλα λόγια, το μοντέλο ADR είναι μια επέκταση του μοντέλου αυτόματης επέμβασης p-order, AR (p), το οποίο περιλαμβάνει μια άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή σε μια χρονική περίοδο πριν από την περίοδο της εξαρτημένης μεταβλητής.
Παράδειγμα
Με βάση τα δεδομένα από το 1995 έως το 2018, υπολογίζουμε τους φυσικούς λογάριθμους τουκάρτες σκι για κάθε έτος και επιστρέφουμε μία περίοδο για τις μεταβλητέςκάρτες σκιτ και κομμάτιατ:
| Ετος | Κάρτες σκι (€) | ln_t | ln_t-1 | Κομμάτια_t | Κομμάτια_t-1 | Ετος | Κάρτες σκι (€) | ln_t | ln_t-1 | Κομμάτια_t | Κομμάτια_t-1 |
| 1995 | 32 | 3,4657 | 8 | 2007 | 88 | 4,4773 | 4,3820 | 6 | 9 | ||
| 1996 | 44 | 3,7842 | 3,4657 | 6 | 8 | 2008 | 40 | 3,6889 | 4,4773 | 5 | 6 |
| 1997 | 50 | 3,9120 | 3,7842 | 6 | 6 | 2009 | 68 | 4,2195 | 3,6889 | 6 | 5 |
| 1998 | 55 | 4,0073 | 3,9120 | 5 | 6 | 2010 | 63 | 4,1431 | 4,2195 | 10 | 6 |
| 1999 | 40 | 3,6889 | 4,0073 | 5 | 5 | 2011 | 69 | 4,2341 | 4,1431 | 6 | 10 |
| 2000 | 32 | 3,4657 | 3,6889 | 5 | 5 | 2012 | 72 | 4,2767 | 4,2341 | 8 | 6 |
| 2001 | 34 | 3,5264 | 3,4657 | 8 | 5 | 2013 | 75 | 4,3175 | 4,2767 | 8 | 8 |
| 2002 | 60 | 4,0943 | 3,5264 | 5 | 8 | 2014 | 71 | 4,2627 | 4,3175 | 5 | 8 |
| 2003 | 63 | 4,1431 | 4,0943 | 6 | 5 | 2015 | 73 | 4,2905 | 4,2627 | 9 | 5 |
| 2004 | 64 | 4,1589 | 4,1431 | 6 | 6 | 2016 | 63 | 4,1431 | 4,2905 | 10 | 9 |
| 2005 | 78 | 4,3567 | 4,1589 | 5 | 6 | 2017 | 67 | 4,2047 | 4,1431 | 8 | 10 |
| 2006 | 80 | 4,3820 | 4,3567 | 9 | 5 | 2018 | 68 | 4,2195 | 4,2047 | 6 | 8 |
| 2019 | ? | ? | 4,2195 | 6 |
Για να κάνουμε την παλινδρόμηση, χρησιμοποιούμε τις τιμές του ln_t ως εξαρτημένη μεταβλητή και τις τιμέςln_t-1 Γtracks_t-1 ως ανεξάρτητες μεταβλητές. Οι τιμές με κόκκινο χρώμα είναι εκτός της παλινδρόμησης.
Λαμβάνουμε τους συντελεστές της παλινδρόμησης:
Σε αυτήν την περίπτωση, το σημάδι των παλινδρομικών είναι θετικό:
- Αύξηση 1€ στην τιμή τουκάρτες σκι την προηγούμενη σεζόν (t-1) σημείωσε άνοδο 0,48€στην τιμή τωνκάρτες σκι για αυτή τη σεζόν (t).
- Η αύξηση ενός μαύρου διαδρόμου που άνοιξε την προηγούμενη σεζόν (t-1) μεταφράζεται σε αύξηση 4,1% στην τιμή τουκάρτες σκι για αυτή τη σεζόν (t).
Οι τιμές σε παρένθεση κάτω από τους συντελεστές είναι τα τυπικά σφάλματα των εκτιμήσεων.
Αντικαθιστούμε
Επειτα,
| Ετος | Περνά σκι (€) | Κομμάτια | Ετος | Περνά σκι (€) | Κομμάτια |
| 1995 | 32 | 8 | 2007 | 88 | 6 |
| 1996 | 44 | 6 | 2008 | 40 | 5 |
| 1997 | 50 | 6 | 2009 | 68 | 6 |
| 1998 | 55 | 5 | 2010 | 63 | 10 |
| 1999 | 40 | 5 | 2011 | 69 | 6 |
| 2000 | 32 | 5 | 2012 | 72 | 8 |
| 2001 | 34 | 8 | 2013 | 75 | 8 |
| 2002 | 60 | 5 | 2014 | 71 | 5 |
| 2003 | 63 | 6 | 2015 | 73 | 9 |
| 2004 | 64 | 6 | 2016 | 63 | 10 |
| 2005 | 78 | 5 | 2017 | 67 | 8 |
| 2006 | 80 | 9 | 2018 | 68 | 6 |
| 2019 | 63 |
ADR (p, q) έναντι AR (σελ)
Ποιο μοντέλο είναι πιο κατάλληλο για την πρόβλεψη των τιμώνκάρτες σκι με τις παραπάνω παρατηρήσεις, AR (1) ή ADR (1,1); Με άλλα λόγια, ενσωματώνετε την ανεξάρτητη μεταβλητήκομμάτιαt-1 στην παλινδρόμηση βοηθά στην καλύτερη προσαρμογή της πρόβλεψής μας;
Εξετάζουμε το τετράγωνο R των παλινδρομήσεων των μοντέλων:
Μοντέλο AR (1): R2= 0,33
Μοντέλο ADR (1,1): R2= 0,40
Το R2 του μοντέλου ADR (1,1) είναι υψηλότερο από το R2 του μοντέλου AR (1). Αυτό σημαίνει ότι η εισαγωγή της ανεξάρτητης μεταβλητήςκομμάτιαt-1 στην παλινδρόμηση βοηθά στην καλύτερη προσαρμογή της πρόβλεψής μας.