Συμμετρική μήτρα - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Ένας συμμετρικός πίνακας είναι ένας πίνακας της τάξης n με τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών όπου η μήτρα μεταφοράς της είναι ίση με την αρχική μήτρα.

Με άλλα λόγια, μια συμμετρική μήτρα είναι μια τετραγωνική μήτρα και είναι ίδια με τη μήτρα αφού έχει αλλάξει σειρές για στήλες και στήλες για σειρές.

Απαιτήσεις

Για να είναι ένας πίνακας συμμετρικός πίνακας, πρέπει να πληροί τους ακόλουθους περιορισμούς:

Με δεδομένη μια συμμετρική μήτρα Π της παραγγελίας n,

• Όντας ένα τετραγωνική μήτρα.

Ο αριθμός των σειρών (n) πρέπει να είναι ίδιος με τον αριθμό των στηλών (m). Δηλαδή, η σειρά του πίνακα πρέπει να είναι δεδομένη ότι n = m.

• Η αρχική μήτρα πρέπει να είναι ίση με αυτήν μεταφερόμενη μήτρα.

Επίδειξη:

Ιδιότητες

• Ο παρακείμενος πίνακας συμμετρικού πίνακα είναι επίσης συμμετρικός πίνακας.

Επίδειξη:

• Η προσθήκη ή αφαίρεση δύο συμμετρικών πινάκων οδηγεί σε μια άλλη συμμετρική μήτρα.

Επίδειξη:

Με δύο συμμετρικούς πίνακες Π Γ Τ της τάξης 3, λαμβάνουμε μια άλλη συμμετρική μήτρα μικρό από το άθροισμα.

Γιατί ονομάζεται συμμετρική μήτρα;

Η ιδιότητα της συμμετρίας δίνεται από τα στοιχεία γύρω από την κύρια διαγώνια. Δεδομένου ότι μια τετραγωνική μήτρα είναι μια συμμετρική μήτρα, θα έχει πάντα τον ίδιο αριθμό στοιχείων πάνω και κάτω από την κύρια διαγώνια. Αυτά τα στοιχεία είναι τα ίδια συμμετρικά. Δηλαδή, η κύρια διαγώνια λειτουργεί σαν καθρέφτης.

Απόδειξη συμμετρίας και ασυμμετρία ενός πίνακα

Συμμετρική μήτρα

Το γράμμα ρε αντιπροσωπεύει τα στοιχεία της κύριας διαγώνιας. Τα άλλα γράμματα αντιπροσωπεύουν οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό. Μπορούμε να δούμε ότι η κύρια διαγώνια λειτουργεί σαν καθρέφτης: αντανακλά τα στοιχεία και στις δύο πλευρές. Με άλλα λόγια, όταν τα στοιχεία και στις δύο πλευρές της διαγώνιας είναι συμμετρικά ίσα, λέμε ότι η μήτρα Π είναι μια συμμετρική μήτρα.

Μη συμμετρική μήτρα

Μήτρα Χ Δεν είναι συμμετρική μήτρα δεδομένου ότι δεν είναι τετράγωνη μήτρα και η μήτρα μεταφοράς της είναι διαφορετική από την αρχική μήτρα. Επιπλέον, δεν έχει ούτε κύρια διαγώνια.