Το Taylor πολυώνυμο είναι μια πολυωνυμική προσέγγιση μιας συνάρτησηςν φορές που μπορεί να παραχθεί σε ένα συγκεκριμένο σημείο.
Με άλλα λόγια, το πολυώνυμο Taylor είναι ένα πεπερασμένο άθροισμα τοπικών παραγώγων που αξιολογούνται σε ένα συγκεκριμένο σημείο.
Μαθηματικά
Ορίζουμε:
f (x): συνάρτηση του Χ.
στ (x0): λειτουργία τουΧσε ένα συγκεκριμένο σημείο x0. Επισήμως είναι γραμμένο:
φά(ν)(Χ):ν-ο παράγωγο της συνάρτησης f (x).
Εφαρμογές
Η επέκταση Taylor εφαρμόζεται γενικά σε χρηματοοικονομικά περιουσιακά στοιχεία και προϊόντα των οποίων η τιμή εκφράζεται ως μη γραμμική συνάρτηση. Για παράδειγμα, η τιμή ενός βραχυπρόθεσμου χρεωστικού τίτλου είναι μια μη γραμμική συνάρτηση που εξαρτάται από τα επιτόκια. Ένα άλλο παράδειγμα θα ήταν επιλογές, όπου τόσο οι παράγοντες κινδύνου όσο και η κερδοφορία είναι μη γραμμικές συναρτήσεις. Ο υπολογισμός της διάρκειας ενός ομολόγου είναι ένα πολυώνυμο Taylor του πρώτου βαθμού.
Πολυωνυμικό παράδειγμα Taylor
Θέλουμε να βρούμε τη δεύτερη σειρά της προσέγγισης Taylor της συνάρτησης f (x) στο σημείο x0=1.
1. Κάνουμε τα σχετικά παράγωγα της συνάρτησης f (x).
Σε αυτήν την περίπτωση, μας ζητούν μέχρι τη δεύτερη σειρά, οπότε θα κάνουμε το πρώτο και το δεύτερο παράγωγο της συνάρτησης f (x):
- Πρώτο παράγωγο:
- Δεύτερο παράγωγο:
2. Αντικαθιστούμε το x0= 1 σε f (x), f '(x) και f' '(x):
3. Μόλις έχουμε την αξία των παραγώγων στο σημείο x0= 1, το αντικαθιστούμε στην προσέγγιση Taylor:
Διορθώνουμε λίγο το πολυώνυμο:
Έλεγχος τιμών
Η προσέγγιση του Taylor θα είναι επαρκής όσο πιο κοντά στο x0 να είναι οι τιμές. Για να το ελέγξουμε, αντικαθιστούμε τιμές κοντά στο x0 τόσο στην αρχική λειτουργία όσο και στην προσέγγιση Taylor παραπάνω:
Όταν x0=1
Αρχική λειτουργία:
Προσέγγιση Taylor:
Όταν x0=1,05
Αρχική λειτουργία:
Προσέγγιση Taylor:
Όταν x0=1,10
Αρχική λειτουργία:
Προσέγγιση Taylor:
Στην πρώτη περίπτωση όταν x0= 1, βλέπουμε ότι τόσο η αρχική συνάρτηση όσο και η προσέγγιση Taylor μας δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Αυτό οφείλεται στη σύνθεση του πολυώνυμου Taylor που έχουμε δημιουργήσει χρησιμοποιώντας τα τοπικά παράγωγα. Αυτά τα παράγωγα έχουν αξιολογηθεί σε ένα συγκεκριμένο σημείο, x0= 1, προκειμένου να αποκτήσετε μια τιμή και να δημιουργήσετε το πολυώνυμο. Έτσι, όσο πιο μακριά από το συγκεκριμένο σημείο, x0= 1, τόσο λιγότερο κατάλληλη είναι η προσέγγιση για την αρχική μη γραμμική συνάρτηση. Στις περιπτώσεις όπου x0= 1,05 και x0= 1,10 υπάρχει μια σημαντική διαφορά μεταξύ του αποτελέσματος της αρχικής συνάρτησης και της προσέγγισης Taylor.
Αλλά… η διαφορά είναι πολύ μικρή, έτσι δεν είναι;
Πολυωνυμική αναπαράσταση Taylor
Εάν επεκτείνουμε τα άκρα (όπου η προσέγγιση απομακρύνεται από το x0=1):
Με την πρώτη ματιά μπορεί να φαίνεται ασήμαντο, αλλά όταν δουλεύουμε πάνω στο γράφημα και κάνουμε προσεγγίσεις, είναι πολύ σημαντικό να λάβουμε υπόψη τουλάχιστον τα τέσσερα πρώτα δεκαδικά ψηφία. Η βάση των προσεγγίσεων είναι η ακρίβεια.