Το ύψος ενός τριγώνου είναι εκείνο το τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου με την αντίθετη πλευρά ή την προέκτασή του, κάθετο προς αυτό, δηλαδή σχηματίζεται μια ορθή γωνία (90º) στη διασταύρωση.
Κάθε τρίγωνο έχει τότε τρία ύψη, το καθένα σε σχέση με κάθε πλευρά του.
Τα ύψη του τριγώνου τέμνονται στο ορθοκεντρικό, το οποίο στο παρακάτω σχήμα θα είναι το σημείο Ο, όπου επιπλέον τα ύψη είναι τα τμήματα AD, BE και CF.
Τα σημεία D, E και F ονομάζονται πόδια ύψους.
Πρέπει να σημειωθεί ότι, λαμβάνοντας την παραπάνω εικόνα ως αναφορά, πρέπει να τηρηθεί ότι:
Ύψος ισογώνιου τριγώνου
Μία συγκεκριμένη περίπτωση είναι αυτή ενός ισογώνιου τριγώνου (το οποίο έχει δύο πλευρές ίσου μέτρου), καθώς το ύψος της διαφορετικής πλευράς (ασυμβίβαστη) κόβει αυτή την πλευρά στο μεσαίο της σημείο. Έτσι το βλέπουμε στην κάτω εικόνα.
Στο παραπάνω σχήμα, το AB ισούται με το AC και το BC, που είναι η διαφορετική πλευρά, κόβεται από το ύψος του στο μεσαίο σημείο (D). Επομένως, το BD ισούται με DC.
Ύψος δεξιού τριγώνου
Στην περίπτωση ενός δεξιού τριγώνου, η υποτείνουσα (η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία), διαιρείται από το ύψος της σε δύο τμήματα, τα οποία θα ονομάσουμε a και b, και το μήκος του ύψους (h) είναι ίσο με το τετράγωνο ρίζα του προϊόντος a και b (βλ. εικόνα αναφοράς).
Στην παραπάνω εικόνα, το AC είναι η υπόταση και το BD, το ύψος του.
Εφαρμογή ύψους
Το ύψος είναι μια σημαντική πληροφορία για ένα τρίγωνο, καθώς ο πολλαπλασιασμός του ύψους με την αντίστοιχη βάση του και η διαίρεση με δύο δίνει την περιοχή του τριγώνου.
Στην παραπάνω εξίσωση, το Α είναι η περιοχή του τριγώνου, το b είναι το μήκος της πλευράς που είναι η βάση και το h είναι το ύψος.
Αν λοιπόν έχουμε, για παράδειγμα, ένα δεξί τρίγωνο του οποίου η υποταγή χωρίζεται σε τμήμα 4 μέτρων και άλλο τμήμα 9 μέτρων. Ποια είναι η περιοχή του σχήματος; Πρέπει να θυμόμαστε τον τύπο που παρουσιάστηκε στην προηγούμενη ενότητα:
Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε στον τύπο για την περιοχή:
