Η τομή των συμβάντων είναι μια λειτουργία της οποίας το αποτέλεσμα αποτελείται από τα μη επαναλαμβανόμενα και κοινά γεγονότα δύο ή περισσότερων συνόλων.
Με απλά λόγια, λαμβάνοντας υπόψη δύο γεγονότα Α και Β, θα πούμε ότι η τομή τους αποτελείται από τα στοιχειώδη γεγονότα που έχουν κοινά. Θα μπορούσαμε επίσης να δείξουμε ότι η τομή των γεγονότων συνεπάγεται την απάντηση στην ερώτηση: Ποια είναι η πιθανότητα ότι τα Α και Β συμβαίνουν ταυτόχρονα;
Το σύμβολο με το οποίο δηλώνεται η διασταύρωση είναι το ακόλουθο: ∩. Είναι σαν ένα ανεστραμμένο U. Έτσι, εάν θέλουμε να υποδηλώσουμε τη διασταύρωση των Α και Β, θα θέλαμε: A ∩ B
Γενίκευση της τομής των γεγονότων
Στην εξήγηση, μέχρι στιγμής, έχουμε δει τη διασταύρωση δύο γεγονότων. Για παράδειγμα, A ∩ B ή B ∩ A. Τώρα, τι θα συμβεί αν έχουμε περισσότερα από δύο γεγονότα;
Η γενίκευση της τομής των γεγονότων μας δίνει μια λύση για να δηλώσουμε τη διασταύρωση, για παράδειγμα, 50 συμβάντων. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 7 συμβάντα, θα χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη σημείωση:
Αντί να καλούμε κάθε συμβάν Α, Β ή οποιοδήποτε γράμμα, θα καλέσουμε Ναι. Το S είναι το συμβάν και ο δείκτης i δείχνει τον αριθμό. Με αυτόν τον τρόπο, θα έχουμε, στο παράδειγμα 7 εκδηλώσεων, τον ακόλουθο τύπο:
Αυτό που κάναμε είναι να αναπτύξουμε τη σημειογραφία. Είναι απλώς να δεις τι σημαίνει, αλλά μόνο βάζοντας ό, τι είναι μπροστά από το ίδιο θα ξέρεις τι σημαίνει αυτή η εξέλιξη. Στα παραπάνω, διαισθητικά, θα λέγαμε «έξοδος S1 και έξοδος S2 και έξοδος S3 και έξοδος S4 και έξοδο S5 και έξοδο S6 και έξοδο S7» Δηλαδή, θα ήταν τα κοινά στοιχεία που έχουν τα 7 γεγονότα.
Διασταύρωση συμβάντων αποσύνδεσης και μη συνένωσης
Η διασταύρωση αποσυνδεδεμένων γεγονότων απλά δεν μπορεί να υπάρχει. Προφανώς, εάν δύο γεγονότα είναι χωριστά, θα πούμε ότι δεν έχουν κοινά στοιχεία. Και αν δεν έχουν κοινά στοιχεία, το αποτέλεσμα είναι το κενό σύνολο ή το αδύνατο συμβάν.
Στην περίπτωση συμβάντων που δεν είναι διαχωρισμένα, το αποτέλεσμα της τομής θα είναι τα κοινά στοιχεία. Ας δούμε ένα παράδειγμα για το γιατί δεν μπορεί να υπάρχει η διασταύρωση συμβάντων αποσύνδεσης:
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα δείγμα χώρου που αποτελείται από (1,2,3,4,5,6) όπου:
Α: Αφήστε 1 ή 2 να εμφανιστούν (1,2)
Β: Βγαίνει μεγαλύτερο ή ίσο με 5 (5,6)
A ∩ B = Ø
Δεν υπάρχει διασταύρωση. Είναι ένα αδύνατο γεγονός. Αυτό συμβαίνει επειδή τα συμβάντα είναι χωριστά. Δηλαδή, δεν έχουν κοινά στοιχεία.
Από την πλευρά της, η τομή των συμβάντων που δεν διαχωρίζονται υπολογίζεται ως:
Ιδιότητες της τομής συμβάντων
Η ένωση των γεγονότων είναι ένας τύπος μαθηματικής λειτουργίας. Ορισμένοι τύποι λειτουργίας είναι επίσης προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός. Καθένα από αυτά έχει μια σειρά ιδιοτήτων. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι το αποτέλεσμα της προσθήκης 3 + 4 είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό της προσθήκης 4 +3. Σε αυτό το σημείο, η ένωση εκδηλώσεων έχει πολλές ιδιότητες που αξίζει να γνωρίζετε:
- Υπολογιστική: Αυτό σημαίνει ότι η σειρά με την οποία γράφεται δεν αλλάζει το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα:
- A ∩ B = B ∩ Α
- C ∩ D = D ∩ Γ
- Προσεταιριστική: Υποθέτοντας ότι υπάρχουν τρία γεγονότα, δεν με νοιάζει ποιο πρέπει να κάνει πρώτα και ποιο να κάνει στη συνέχεια. Για παράδειγμα:
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A ∩ C) U B = (A ∩ B) ∩ C
- Διανεμητικό: Όταν συμπεριλαμβάνουμε τον τύπο λειτουργίας τομής, διατηρείται η ιδιότητα διανομής. Απλώς δείτε το ακόλουθο παράδειγμα:
- A ∩ (B U C) = (A U B) U (A U C)
Εξετάζοντας αυτές τις ιδιότητες, μπορούμε εύκολα να δούμε πώς είναι ακριβώς οι ίδιες με αυτές στην περίπτωση του συνδικάτου.
Παράδειγμα διασταύρωσης συμβάντων
Ένα απλό παράδειγμα της ένωσης δύο εκδηλώσεων Α και Β θα ήταν το ακόλουθο. Ας υποθέσουμε ότι η περίπτωση της ρίψης μιας τέλειας μήτρας. Μια μήτρα που έχει έξι πρόσωπα από 1 έως 6. Με τέτοιο τρόπο ώστε τα γεγονότα να ορίζονται παρακάτω:
ΠΡΟΣ ΤΗΝ: Ότι είναι μεγαλύτερο από 2. (3,4,5,6) κατά πάσα πιθανότητα είναι 4/6 => P (A) = 0,67
ΝΤΟ: Αφήστε πέντε να βγουν. Η πιθανότητα (5) είναι 1/6 => P (C) = 0,17
Ποια είναι η πιθανότητα του A-C;
P (A ∩ C) = P (A) + P (C) - P (A U C)
Δεδομένου ότι τα P (A) και P (C) το έχουν ήδη, θα υπολογίσουμε το P (A U C)
A U C = (3,4,5,6) πιθανότητες P (A U C) = 4/6 = 0,67
Το τελικό αποτέλεσμα είναι:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,67 = 0,17 (17%)
Η πιθανότητα ότι θα βγει μεγαλύτερη από 2 και ταυτόχρονα ότι θα βγει πέντε είναι 17%.