Μια τυχαία μεταβλητή είναι η μαθηματική συνάρτηση ενός τυχαίου πειράματος.
A priori, ο ορισμός μιας τυχαίας μεταβλητής δεν είναι πολύ περίπλοκος. Είναι μια έννοια που μπορεί να οριστεί σε μία πρόταση. Ωστόσο, είναι πιο περίπλοκο από ό, τι φαίνεται.
Τώρα, στο Economy-Wiki.com, όπως κάνουμε πάντα, θα το εξηγήσουμε με ειλικρινά τρόπο. Έτσι, θα πάμε εν μέρει. Από ποια μέρη είναι φτιαγμένη η φράση;
Στατιστική μεταβλητήΤι είναι μια τυχαία μεταβλητή;
Πώς μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι η πρόταση αποτελείται βασικά από δύο έννοιες: μαθηματική συνάρτηση και τυχαίο πείραμα. Εδώ πρέπει να ξεκινήσουμε. Δηλαδή, κατανοώντας πρώτα τι είναι μια μαθηματική συνάρτηση και, αργότερα, καθορίζοντας τι εννοούμε με τυχαίο πείραμα.
- Μαθηματική συνάρτηση: Με απλά λόγια, είναι μια εξίσωση που εκχωρεί τιμές σε μια μεταβλητή (εξαρτώμενη μεταβλητή) με βάση άλλες μεταβλητές (ανεξάρτητες μεταβλητές).
- Τυχαίο πείραμα: Είναι ένα φαινόμενο πραγματικής ζωής τα αποτελέσματα οφείλονται εξ ολοκλήρου στην τύχη. Δηλαδή, υπό τις ίδιες αρχικές συνθήκες δίνει διαφορετικά αποτελέσματα.
Με άλλα λόγια, είναι μια εξίσωση που περιγράφει ή επιχειρεί να περιγράψει τα αποτελέσματα (με έναν αριθμό) ενός συμβάντος του οποίου τα αποτελέσματα οφείλονται στην τύχη.
Ποιο είναι το νόημα της διαφοροποίησης της τυχαίας μεταβλητής από το τυχαίο πείραμα;
Ας σκεφτούμε την ακόλουθη περίπτωση. Θέλουμε να μελετήσουμε εάν ένα νόμισμα είναι τέλειο ή είναι πολύ κοντά στο να είναι έτσι. Για να το κάνουμε αυτό, πρόκειται να πραγματοποιήσουμε ένα τυχαίο πείραμα που συνίσταται στην ανατροπή του νομίσματος και στην καταγραφή του αποτελέσματος.
Τα πιθανά αποτελέσματα της ρίψης νομισμάτων είναι κεφαλές και ουρές. Μπορούμε να τα δηλώσουμε ως c (κεφαλές) και + (ουρές). Τώρα, δεν μπορούμε να λειτουργήσουμε αντικαθιστώντας κεφαλές και ουρές στις αντίστοιχες λειτουργίες. Τι κάνουμε για να διευκολύνουμε τη μαθηματική διαδικασία; Εκχώρηση αριθμών:
Τυχαία μεταβλητή X: 1 if κεφαλές και 0 if ουρές.
Αναθέτοντας έναν αριθμό σε αυτόν, μπορούμε να λειτουργήσουμε μαθηματικά. Πριν με πινακίδες, δεν μπορούσαμε. Αυτός είναι ο πραγματικός στόχος μιας τυχαίας μεταβλητής. Μετατρέψτε συμβάντα με τα οποία δεν μπορούμε να λειτουργήσουμε μαθηματικά σε αριθμούς. Ένα άλλο παράδειγμα θα μπορούσε να προβλέψει εάν βρέχει ή όχι. Εάν βρέχει 1 και αν δεν βρέχει 0.
Τυχαία μεταβλητή και κατανομή πιθανότητας
Η σχέση μεταξύ τυχαίας μεταβλητής και κατανομής πιθανότητας είναι πολύ στενή. Στην πραγματικότητα, μια κατανομή πιθανότητας είναι στην πραγματικότητα η συνάρτηση μιας τυχαίας μεταβλητής. Δηλαδή, είναι μια συνάρτηση μιας συνάρτησης. Έχουμε λοιπόν δύο σχετικές αλλά διαφορετικές έννοιες:
- Τυχαία μεταβλητή: Είναι συνάρτηση ενός τυχαίου πειράματος.
- Κατανομή πιθανότητας: Είναι μια συνάρτηση που καθορίζει τον τρόπο κατανομής της πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής.
Τυχαίοι τύποι μεταβλητών
Εντός των τυχαίων μεταβλητών υπάρχουν, βασικά, δύο τύποι. Η ταξινόμησή του εξαρτάται από τον τύπο του αριθμού που επιστρέφει η μαθηματική συνάρτηση. Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να αποτελείται από δύο τύπους:
- Διακριτή τυχαία μεταβλητή: Μια τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή εάν οι αριθμοί που παράγει είναι ακέραιοι αριθμοί. Ο τρόπος υπολογισμού των πιθανοτήτων μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μέσω της συνάρτησης πιθανότητας.
- Συνεχής τυχαία μεταβλητή: Μια τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής σε περίπτωση που οι αριθμοί που παίρνει δεν είναι ακέραιοι αριθμοί. Δηλαδή, έχουν δεκαδικά. Η πιθανότητα ενός δεδομένου συμβάντος που αντιστοιχεί σε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από τη συνάρτηση πυκνότητας.
Τυχαίο παράδειγμα μεταβλητής
Μια τυχαία μεταβλητή θα μπορούσε κάλλιστα να είναι η συνάρτηση των αποτελεσμάτων της κύλισης μιας μήτρας. Είναι σημαντικό να γίνει διάκριση μεταξύ τριών εννοιών εδώ.
- Ζάρια: Δεν είναι η τυχαία μεταβλητή. Η μήτρα είναι απλά ένα αντικείμενο.
- Ρίξτε μια μήτρα: Δεν είναι η τυχαία μεταβλητή. Το roll of a die είναι το τυχαίο πείραμα.
- Αποτελέσματα του κυλίνδρου: Ναι είναι η τυχαία μεταβλητή. Είναι η συνάρτηση που συλλέγει τα αποτελέσματα του ρολού των ζαριών. Ένα παράδειγμα μιας τυχαίας μεταβλητής θα μπορούσε να είναι: Ότι ένας αριθμός μεγαλύτερος από 2 εμφανίζεται όταν κυλάει τα ζάρια.
X: Αυτό βγαίνει μεγαλύτερο από 2 όταν ρίχνεις τα ζάρια
Κατανομή πιθανότητας: το 1/3 δεν είναι μεγαλύτερο από 2 και 2/3 εάν είναι μεγαλύτερο από 2.
Δηλαδή, η πιθανότητα κατανέμεται έτσι ώστε η πιθανότητα να κυληθεί ένας αριθμός μικρότερος ή ίσος με 2 είναι 1/3. Εν τω μεταξύ, η πιθανότητα ότι είναι μεγαλύτερη από 2 είναι 2/3
Επομένως, η τυχαία μεταβλητή μας θα εξαρτηθεί από το συγκεκριμένο αποτέλεσμα της τιμής της μήτρας. Ο τύπος της μεταβλητής στην οποία αναφέρεται είναι διακριτός. Γιατί ξέρουμε; Επειδή όταν κάνουμε ένα ζάρι, μπορούμε να έχουμε μόνο 6 πιθανά αποτελέσματα. Όλα είναι ακέραιοι αριθμοί. Συγκεκριμένα, μεταξύ 1 και 6.