Η κατανομή Bernoulli είναι ένα θεωρητικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για να αντιπροσωπεύει μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που μπορεί να καταλήξει μόνο σε δύο αμοιβαία αποκλειστικά αποτελέσματα.
Προτεινόμενα άρθρα: Διανομή Bernoulli, παράδειγμα Bernoulli, δείγμα χώρου και κανόνας Laplace.
Συνάρτηση πιθανότητας Bernoulli
Ορίζουμε το z ως την τυχαία μεταβλητή Z όταν είναι γνωστή και σταθερή. Δηλαδή, το Ζ αλλάζει τυχαία (η μήτρα στρέφεται και γυρίζει σε ένα μόνο ρολό) αλλά όταν την παρατηρούμε, καθορίζουμε την τιμή (όταν η μήτρα πέφτει στο τραπέζι και δίνει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα) Είναι εκείνη τη στιγμή που αξιολογούμε το αποτέλεσμα και το εκχωρούμε ένα (1) ή μηδέν (0) ανάλογα με το τι θεωρούμε «επιτυχία» ή όχι «επιτυχία».
Μόλις οριστεί η τυχαία μεταβλητή Z, μπορεί να πάρει μόνο δύο συγκεκριμένες τιμές: μηδέν (0) ή μία (1). Τότε η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της κατανομής Bernoulli θα είναι μη μηδενική (0) όταν το z είναι μηδέν (0) ή ένα (1). Η αντίθετη περίπτωση θα ήταν ότι η συνάρτηση διανομής της διανομής Bernoulli είναι μηδέν (0), καθώς το z θα είναι οποιαδήποτε τιμή εκτός από το μηδέν (0) ή ένα (1)
Η παραπάνω συνάρτηση μπορεί επίσης να ξαναγραφεί ως:
Αν αντικαταστήσουμε το z = 1 στον πρώτο τύπο της συνάρτησης πιθανότητας, θα δούμε ότι το αποτέλεσμα είναι p που συμπίπτει με την τιμή της δεύτερης συνάρτησης πιθανότητας όταν z = 1. Ομοίως, όταν z = 0 παίρνουμε (1-p) για οποιαδήποτε τιμή p.
Στιγμές της συνάρτησης
Οι στιγμές μιας λειτουργίας διανομής είναι συγκεκριμένες τιμές που καταγράφουν το μέτρο κατανομής σε διαφορετικούς βαθμούς. Σε αυτήν την ενότητα εμφανίζονται μόνο οι δύο πρώτες στιγμές: η μαθηματική προσδοκία ή η αναμενόμενη τιμή και η διακύμανση.
Πρώτη στιγμή: αναμενόμενη τιμή.
Δεύτερη στιγμή: διακύμανση.
Παράδειγμα στιγμών Bernouilli
Υποθέτουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τις δύο πρώτες στιγμές μιας κατανομής Bernoulli, δεδομένης της πιθανότητας p = 0,6 έτσι
Όπου το D είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή.
Γνωρίζουμε λοιπόν ότι p = 0,6 και (1-p) = 0,4.
- Πρώτη στιγμή: αναμενόμενη τιμή.
Δεύτερη στιγμή: διακύμανση.
Επιπλέον, θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση κατανομής δεδομένης της πιθανότητας p = 0,6. Επειτα:
Δεδομένης της συνάρτησης πιθανότητας:
Όταν z = 1
Όταν z = 0
Το μπλε χρώμα υποδηλώνει ότι τα μέρη που συμπίπτουν μεταξύ των δύο (ισοδύναμων) τρόπων έκφρασης της λειτουργίας κατανομής πιθανότητας της κατανομής Bernoulli.