Συνεπής εκτιμητής - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Ένας σταθερός εκτιμητής είναι αυτός του οποίου το σφάλμα μέτρησης ή η μεροληψία πλησιάζει το μηδέν όταν το μέγεθος του δείγματος πλησιάζει το άπειρο.

Από τον ορισμό ενός αμερόληπτου εκτιμητή, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι μερικές φορές έχουμε σφάλματα εκτίμησης. Τώρα, υπάρχουν περιπτώσεις όπου το δείγμα μεγαλώνει το σφάλμα μειώνεται.

Μερικές φορές, λόγω των χαρακτηριστικών του εκτιμητή που χρησιμοποιείται, καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος, το σφάλμα αυξάνεται επίσης. Αυτός ο εκτιμητής δεν θα ήταν επιθυμητός να χρησιμοποιηθεί. Τώρα, a priori, δεν γνωρίζουμε πού τείνει η προκατάληψη. Εάν τείνει στο μηδέν, τείνει σε μια συγκεκριμένη τιμή ή τείνει στο άπειρο καθώς το μέγεθος του δείγματος γίνεται μεγαλύτερο.

Τούτου λεχθέντος, είναι απαραίτητο να οριστεί η έννοια της συνέπειας. Για αυτούς, πρέπει να πούμε ότι υπάρχουν δύο τύποι συνέπειας. Για ένα πράγμα, υπάρχει η απλή συνοχή. Ενώ, από την άλλη πλευρά, η συνέπεια βρίσκεται στο μέσο τετράγωνο.

Για να το θέσουμε με κάποιο τρόπο, είναι δύο μαθηματικά εργαλεία που μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε σε ποιον αριθμό ή αριθμούς συγκλίνει ο εκτιμητής μας.

Απλή συνοχή

Ένας εκτιμητής πληροί την ιδιότητα της απλής συνέπειας εάν πληρούται η ακόλουθη εξίσωση:

Από αριστερά προς τα δεξιά, η εξίσωση διαβάζεται ως εξής: Το όριο, όταν το μέγεθος του δείγματος τείνει στο άπειρο, της πιθανότητας ότι η απόλυτη διαφορά μεταξύ της τιμής του εκτιμητή και της τιμής της παραμέτρου είναι μεγαλύτερη από το σφάλμα, ισούται με μηδέν .

Είναι κατανοητό ότι η τιμή του σφάλματος που σημειώνεται από το epsilon, πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.

Διαισθητικά, ο τύπος δείχνει ότι όταν το μέγεθος του δείγματος γίνει πολύ μεγάλο, η πιθανότητα σφάλματος μεγαλύτερη από το μηδέν είναι μηδέν. Αντίστροφα, η πιθανότητα ότι δεν υπάρχει σφάλμα όταν το μέγεθος του δείγματος είναι πολύ μεγάλο είναι, μιλώντας κατά πάσα πιθανότητα, σχεδόν 100%.

Εκτιμητής που αποτελείται από τετραγωνικό μέσο όρο

Ένα άλλο εργαλείο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ελέγξει ότι ο εκτιμητής είναι συνεπής είναι το τετραγωνικό σφάλμα του μέσου ρίζας. Αυτό το μαθηματικό εργαλείο είναι ακόμη πιο ισχυρό από το προηγούμενο. Ο λόγος είναι ότι η απαίτηση αυτής της κατάστασης είναι μεγαλύτερη.

Στην προηγούμενη ενότητα, η απαίτηση ήταν ότι, πιθανότατα, η πιθανότητα σφάλματος να είναι μηδέν ή πολύ κοντά στο μηδέν.

Τώρα, αυτό που απαιτούμε ορίζεται από την ακόλουθη μαθηματική ισότητα:

Δηλαδή, όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο, η μαθηματική προσδοκία των τετραγωνικών σφαλμάτων είναι μηδέν. Η μόνη επιλογή για αυτήν την τιμή να είναι μηδέν είναι ότι το σφάλμα είναι πάντα μηδέν. Γιατί; Επειδή το σφάλμα εκτίμησης αυξάνεται στα δύο (Εκτιμητής - Αληθινή τιμή της παραμέτρου), το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό. Εκτός αν, το σφάλμα είναι μηδέν. Το μηδέν που αυξάνεται στα δύο είναι μηδέν.

Φυσικά, αν το όριο επιστρέψει 0,0001, μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι ίσο με μηδέν. Είναι σχεδόν αδύνατο ο μηδενικός χάρτης σφάλματος τετραγώνου να φτάσει στο μηδέν.

Στατιστικά, θα πούμε ότι ένας εκτιμητής είναι συνεπής στον τετραγωνικό μέσο όρο, σε περίπτωση που η προσδοκία του τετραγωνικού σφάλματος του εκτιμητή λαμβάνοντας υπόψη διαφορετικά δείγματα είναι μηδέν ή πολύ κοντά σε αυτόν.