Ο λογάριθμος είναι μια αυστηρά κοίλη (αυξανόμενη) μονοτονική συνάρτηση που περιλαμβάνεται στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών και είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης.
Με άλλα λόγια, ο λογάριθμος είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από μια βάση και ένα επιχείρημα που αναπτύσσεται με μειωμένο ρυθμό ανάπτυξης.
Προτεινόμενα άρθρα: φυσικός λογάριθμος, λογάριθμοι στην οικονομετρία και πραγματικοί αριθμοί.
Τύπος λογάριθμου
Η έκφραση του λογάριθμου αποτελείται από μια βάση και ένα όρισμα.
Σε αυτήν την περίπτωση, το βάση είναι x και το διαφωνία είναι z από το οποίο θα λάβουμε τον λογάριθμο.
Αλλά… Από τα στοιχεία της προηγούμενης εξίσωσης, ποιος είναι ο λογάριθμος;
Συνήθως τείνουμε να πιστεύουμε ότι ο λογάριθμος της προηγούμενης έκφρασης είναι απλώς logΧ, αλλά δεν είναι αλήθεια. Η σωστή απάντηση είναι το αρχείο καταγραφήςΧz αφού χρειαζόμαστε επίσης τη μεταβλητή z για να μπορούμε να υπολογίσουμε τον λογάριθμο.
Τομέα
Δεδομένης μιας αριθμητικής μεταβλητής z που περιλαμβάνεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, υπόκειται στον περιορισμό της υιοθέτησης μόνο θετικών πραγμάτων.
Με άλλα λόγια, τα ορίσματα λογάριθμου θα πάρουν μόνο πραγματικούς αριθμούς αυστηρά (>) μεγαλύτερους από το μηδέν (0).
Δεδομένου του αριθμού x που περιλαμβάνεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, υπόκειται στον περιορισμό της έγκρισης μόνο θετικών πραγματικών μεγαλύτερων από 1.
Με άλλα λόγια, οι βάσεις των λογαρίθμων θα λαμβάνουν μόνο πραγματικούς αριθμούς αυστηρά (>) μεγαλύτερους από ένα (1).
Οι βάσεις που χρησιμοποιούνται περισσότερο είναι 2, 10 και e.
Ο λογάριθμος στη βάση 10 καλείται δεκαδικός ή κοινός λογάριθμος.
Ο λογάριθμος στη βάση 2 είναι γνωστός ως δυαδικός λογάριθμος.
Εάν η βάση του λογάριθμου είναι ο αριθμός e, τότε ο λογάριθμος καλείται φυσικό ή φυσικό λογάριθμο.
Αναπαράσταση
Τι πρέπει να υπολογίσουμε τον λογάριθμο ενός αριθμού;
Για να υπολογίσουμε τον λογάριθμο χρειαζόμαστε δύο αριθμούς που ανήκουν στο σύνολο των θετικών πραγματικών και επίσης ότι ένας από αυτούς είναι διαφορετικός από έναν (1). Ένας αριθμός θα λειτουργεί ως όρισμα και ο άλλος ως βάση, αντίστοιχα.
Αποτέλεσμα
Παρόλο που υπάρχουν περιορισμοί στους αριθμούς που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη βάση και το όρισμα, ο κωδικός τομέας της λογαριθμικής συνάρτησης είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί. Με άλλα λόγια, μπορούμε να αποκτήσουμε αρνητικούς, ουδέτερους (0) ή θετικούς λογάριθμους, καθώς μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή της πραγματικής γραμμής:
Είναι σημαντικό να μην συγχέεται ο τομέας του ορίσματος με τον τομέα του αποτελέσματος (codomain).
Παραδείγματα
Εφαρμογή
Στη χρηματοδότηση, οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται για τη λήψη των συνεχών αποδόσεων ενός περιουσιακού στοιχείου ή ενός χρηματοοικονομικού προϊόντος.
Στα οικονομικά, τόσο στη μικροοικονομική όσο και στη μακροοικονομική, χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν την αποστροφή του κινδύνου των οικονομικών παραγόντων στις λειτουργίες χρησιμότητας. Χρησιμοποιούνται επίσης για να κάνουν μονότονους μετασχηματισμούς λειτουργιών χρησιμότητας.
Στην οικονομετρία, η κλίμακα των μεταβλητών μεταμορφώνεται για να διευκολύνει την ερμηνεία τους.