Η κατανομή Poisson είναι μια διακριτή κατανομή πιθανότητας που διαμορφώνει τη συχνότητα ορισμένων συμβάντων κατά τη διάρκεια ενός καθορισμένου χρονικού διαστήματος με βάση τη μέση συχνότητα εμφάνισης αυτών των συμβάντων.
Με άλλα λόγια, η κατανομή Poisson είναι μια διακριτή κατανομή πιθανότητας που, γνωρίζοντας μόνο τα γεγονότα και τη μέση συχνότητα εμφάνισης, μπορούμε να γνωρίζουμε την πιθανότητά τους.
Έκφραση διανομής Poisson
Δεδομένης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X λέμε ότι η συχνότητά της μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά με μια κατανομή Poisson, έτσι ώστε:
Σε αντίθεση με την κανονική κατανομή, η κατανομή Poisson εξαρτάται μόνο από μία παράμετρο, mu (σημειωμένη κίτρινη).
Η Mu αναφέρει τον αναμενόμενο αριθμό συμβάντων που θα συμβούν σε ένα καθορισμένο χρονικό διάστημα. Όταν μιλάμε για κάτι "αναμενόμενο" πρέπει να το ανακατευθύνουμε για να σκεφτούμε το μέσο όρο. Επομένως, mu είναι ο μέσος όρος της συχνότητας των συμβάντων.
Τόσο ο μέσος όρος όσο και η διακύμανση αυτής της κατανομής είναι πολύ αυστηρά θετικές.
Αναπαράσταση
Δεδομένης της κατανομής Poisson με μέση τιμή 2, η κατανομή πιθανότητας πυκνότητας έχει ως εξής:
Η συνάρτηση ορίζεται μόνο σε ακέραιες τιμές του x.
Δεν θα φαίνονται όλες οι διανομές πιθανότητας πυκνότητας Poisson ακόμα και αν διατηρήσουμε το δείγμα ίδιο. Εάν αλλάξουμε τη μέση τιμή, δηλαδή, την παράμετρο από την οποία εξαρτάται η συνάρτηση, η συνάρτηση θα αλλάξει επίσης.
Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (pdf)
Αυτή η συνάρτηση νοείται ως η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή x. Είναι το εκθετικό του αρνητικού μέσου πολλαπλασιαζόμενου με το μέσο όρο που αυξάνεται στην παρατήρηση και όλα διαιρούμενο με το παραγοντικό της παρατήρησης.
Όπως υποδεικνύεται, για να γνωρίζουμε την πιθανότητα κάθε παρατήρησης, θα πρέπει να αντικαταστήσουμε όλες τις παρατηρήσεις στη συνάρτηση. Με άλλα λόγια, το x είναι ένας φορέας της διάστασης n που περιέχει όλες τις παρατηρήσεις της τυχαίας μεταβλητής X. Ο μέσος όρος θα ήταν επίσης ένας φορέας αλλά μιας διάστασης, έτσι ώστε:
Μόλις έχουμε τις υπολογιζόμενες πιθανότητες, μαζί με τις παρατηρήσεις μπορούμε να σχεδιάσουμε την κατανομή πυκνότητας πιθανότητας.
Ιστορία
Το όνομα αυτής της διανομής προέρχεται από τον δημιουργό του, Siméon-Denis Poisson (1781-1840), Γάλλο μαθηματικό και φιλόσοφο, που ήθελε να μοντελοποιήσει τη συχνότητα των γεγονότων σε ένα καθορισμένο χρονικό διάστημα. Συμμετείχε επίσης στην τελειοποίηση του νόμου των μεγάλων αριθμών.
Εφαρμογή
Η διανομή Poisson χρησιμοποιείται στον τομέα του λειτουργικού κινδύνου για τη μοντελοποίηση καταστάσεων στις οποίες συμβαίνει λειτουργική απώλεια. Σε κίνδυνο αγοράς, η διαδικασία Poisson χρησιμοποιείται για χρόνους αναμονής μεταξύ χρηματοοικονομικών συναλλαγών σε βάσεις δεδομένων υψηλής συχνότητας. Επίσης, λαμβάνεται υπόψη ο πιστωτικός κίνδυνος για τη μοντελοποίηση του αριθμού των πτωχεύσεων.
Παράδειγμα
Υποθέτουμε ότι είμαστε στη χειμερινή περίοδο και θέλουμε να κάνουμε σκι πριν από τον Δεκέμβριο. Η πιθανότητα να ανοίξουν τα χιονοδρομικά κέντρα πριν από τον Δεκέμβριο είναι 5%. Από τα 100 χιονοδρομικά κέντρα, θέλουμε να μάθουμε την πιθανότητα να ανοίξει το πλησιέστερο χιονοδρομικό κέντρο πριν από τον Δεκέμβριο. Η αποτίμηση αυτού του χιονοδρομικού κέντρου είναι 6 βαθμοί.
Οι είσοδοι που απαιτούνται για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας πυκνότητας Poisson είναι το σύνολο δεδομένων και mu:
- Σύνολο δεδομένων = 100 χιονοδρομικά κέντρα.
- Mu = 5% * 100 = 5 είναι ο αναμενόμενος αριθμός χιονοδρομικών κέντρων δεδομένου του συνόλου δεδομένων.
Έτσι, ο κοντινότερος σταθμός έχει πιθανότητα 14,62% να ανοίξει πριν από τον Δεκέμβριο.
Πιθανότητα συχνότητας