Το μοντέλο Vasicek είναι ένα μοντέλο ισορροπίας ενός παράγοντα στα επιτόκια που βασίζεται σε μια γεωμετρική διαδικασία Brownian που λαμβάνει υπόψη τη μέση αναστροφή και τη χρονική διάρθρωση των επιτοκίων.
Με άλλα λόγια, το μοντέλο Vasicek χρησιμοποιείται για την πρόβλεψη των μακροπρόθεσμων επιτοκίων προσομοιώνοντας τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια. Επιπλέον, λαμβάνει υπόψη ότι τα επιτόκια είναι διαφορετικά σε διαφορετικές χρονικές περιόδους (χρονική διάρθρωση των επιτοκίων).
Τα μοντέλα επιτοκίων ισορροπίας χρησιμοποιούν βραχυπρόθεσμα επιτόκια για τον υπολογισμό των μελλοντικών επιτοκίων λαμβάνοντας υπόψη τη διάρθρωση των επιτοκίων.
Για την κατασκευή της καμπύλης απόδοσης χρειαζόμαστε τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια και τις παραμέτρους του μοντέλου. Μόλις έχουμε τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια και τις παραμέτρους, μπορούμε να υπολογίσουμε τα μακροπρόθεσμα επιτόκια.
Έτσι, για να υπολογίσουμε τις μελλοντικές τιμές μηδενικού κουπονιού, χρειαζόμαστε βραχυπρόθεσμα επιτόκια μηδενικού κουπονιού. Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε επίσης να χτίσουμε την καμπύλη ή τη χρονοδιάρθρωση των μηδενικών επιτοκίων κουπονιών. Μόλις έχουμε την καμπύλη, θα καθορίσουμε την εξέλιξη των μακροπρόθεσμων επιτοκίων δεδομένων των βραχυπρόθεσμων επιτοκίων.
Τύπος μοντέλου Vasicek: Τιμή μηδενικού κουπονιού.
Αναλυτική λύση για να βρείτε την τιμή ενός ομολόγου μηδενικού κουπονιού που πληρώνει 1 € στη λήξη (T) σε οποιαδήποτε χρονική περίοδο (t) και με βραχυπρόθεσμο επιτόκιο (r (t)).
Μην πανικοβάλλεστε!
Απλώς χρειαζόμαστε:
- Η χρονική περίοδος κατά την οποία θέλουμε να μάθουμε τα επιτόκια, δηλαδή, T.
- Η στιγμή του χρόνου στην οποία βρισκόμαστε τώρα ή η αρχική στιγμή που θέλουμε, δηλαδή, t.
- Η βραχυπρόθεσμη καμπύλη επιτοκίων, δηλαδή, r (T) ή rΤ . Εάν θέλαμε να εκφράσουμε τα επιτόκια στην αρχική περίοδο, θα χρησιμοποιούσαμε r (T) ή rΤ.
- Σε αυτούς τους τύπους θα αντιμετωπίσουμε τις παραμέτρους a, b και s ως σταθερές στο χρόνο.
- Η τυπική απόκλιση, s.
Για να υπολογίσουμε την τιμή ενός ομολόγου μηδενικού κουπονιού που πληρώνει 1 € κατά τη λήξη (T) σε οποιαδήποτε χρονική περίοδο (t) πρέπει μόνο να δώσουμε τιμές στις παραμέτρους a, b και s και να προσομοιώσουμε τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια (r (t)).
Αναπαράσταση του μοντέλου Vasicek: Τιμή μηδενικού κουπονιού
Το P (t, T) αντιπροσωπεύει την τιμή του ομολόγου από το χρόνο t έως το T.
Λοιπόν… Οι τιμές των ομολόγων πάντοτε θα είναι έτσι;
Όχι καθόλου, όπως είπαμε στην αρχή, τα επιτόκια εξαρτώνται από μια γεωμετρική διαδικασία του Μπράουν, και συνεπώς, συνεπάγεται την παρουσία ενός τυχαίου στοιχείου, Ν (0,1). Έτσι, κάθε φορά που υπολογίζουμε τους παραπάνω τύπους, τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια θα αλλάζουν και έτσι τα μακροπρόθεσμα επιτόκια, οι τιμές των ομολόγων και η εκπροσώπησή τους.
Θα χρησιμοποιήσουμε τους παρακάτω τύπους για να βρούμε r (T) και R (T).
Τύπος μοντέλου Vasicek: Βραχυπρόθεσμα επιτόκια
Τύπος βραχυπρόθεσμου επιτοκίου (rΤ):
Τύπος μακροπρόθεσμου επιτοκίου (RΤ):
Αναπαράσταση του μοντέλου Vasicek: καμπύλη επιτοκίου
