Η κατανομή Bernoulli είναι ένα θεωρητικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για να αντιπροσωπεύει μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που μπορεί να καταλήξει μόνο σε δύο αμοιβαία αποκλειστικά αποτελέσματα.
Προτεινόμενα άρθρα: χώρος δειγματοληψίας, διανομή Bernoulli και νόμος Laplace.
Παράδειγμα Bernoulli
Υποθέτουμε ότι είμαστε πολύ οπαδοί ενός αναβάτη σε ένα διαγωνισμό ποδηλασίας στον οποίο μόνο δύο αναβάτες ανταγωνίζονται. Θέλουμε να στοιχηματίσουμε ότι κερδίζει ο μεσίτης.
Έτσι, αν κερδίσετε θα είναι αποτέλεσμα "επιτυχίας" και αν χάσετε θα είναι αποτέλεσμα "χωρίς επιτυχία". Σχηματικώς:
Αντιμετωπίσαμε αυτό το παράδειγμα ως διχοτομική περίπτωση. Δηλαδή, υπάρχουν μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα (για την απλοποίηση της κατάστασης). Στα θεωρητικά βιβλία βρίσκουμε το τυπικό παράδειγμα της ρίψης ενός μη παραποιημένου νομίσματος που συνίσταται στην απόκτηση κεφαλών ή ουρών. Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν πλέον πιθανά αποτελέσματα, η απόκτηση της παραμέτρου p γίνεται στοιχειώδης.
Στο παράδειγμα του μεσίτη μας, θα μπορούσαμε επίσης να θεωρούμε "ανεπιτυχείς" ως απόκτηση οποιασδήποτε θέσης εκτός από την πρώτη θέση. Στη συνέχεια, η παράμετρος p θα αλλάξει και θα είναι ο αριθμός των φορών που ο μεσίτης μπορεί να διαιρεθεί αρχικά με τον αριθμό των συνολικών θέσεων. Σχηματικώς:
Εδώ η παράμετρος p δεν φαίνεται πολύ προφανής στην αρχή, αλλά είναι μόνο θέμα εφαρμογής του νόμου του Laplace.
Υποθέτουμε ότι υπάρχουν μόνο 10 θέσεις στις οποίες ο δρομέας μπορεί να πάρει μόνο μία από αυτές στον αγώνα. Επειτα,
Ασκηση
Υπολογίστε τη συνάρτηση κατανομής δρομέων σε έναν διαγωνισμό 10 δρομέων.
Λειτουργία διανομής Bernoulli
- Πλησιάζω.
Ορίζουμε τις δύο τιμές που μπορεί να πάρει μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί μια κατανομή Bernoulli.
Z = 1 εάν ο δρομέας κερδίσει τον διαγωνισμό = 1η θέση = ΕΠΙΤΥΧΙΑ.
Z = 0 εάν ο δρομέας χάσει τον αγώνα = όχι 1η θέση = ΔΕΝ ΕΠΙΤΥΧΕΙ.
- Αντιστοίχιση και υπολογισμός πιθανοτήτων.
Μόλις ορίσουμε τις τιμές Ζ, εκχωρούμε τις πιθανότητες του αποτελέσματος του πειράματος:
Πάνω στο παράδειγμα έχουμε ήδη υπολογίσει τις πιθανότητες χρησιμοποιώντας το νόμο του Laplace. Το αποτέλεσμα ήταν ότι p = 1/10 και (1-p) = 0,9.
- Υπολογισμός της συνάρτησης διανομής.
Τώρα πρέπει απλώς να αντικαταστήσουμε τις προηγούμενες μεταβλητές στον τύπο της συνάρτησης διανομής.
Μπορούμε να δούμε ότι οι προηγούμενες εκφράσεις μπορούν επίσης να εκφραστούν με αυτόν τον τρόπο:
Βλέπουμε ότι χρησιμοποιώντας τον έναν ή τον άλλο τρόπο, η πιθανότητα επιτυχίας, δηλαδή, η πιθανότητα να κερδίσει ο δρομέας του διαγωνισμού θα είναι πάντα p = 1/10 και η πιθανότητα μη επιτυχίας, δηλαδή η πιθανότητα να χάσει. ο διαγωνισμός θα είναι πάντα (1-p) = 9/10.
Έτσι, ο δρομέας ακολουθεί μια κατανομή Bernoulli με πιθανότητα p = 0,1:
