Τα μοντέλα ισορροπίας στα επιτόκια είναι μοντέλα ισορροπίας που βασίζονται σε μια γεωμετρική διαδικασία Brownian και στην ουδετερότητα κινδύνου των βραχυπρόθεσμων επιτοκίων.
Με άλλα λόγια, τα μοντέλα επιτοκίων ισορροπίας χρησιμοποιούν βραχυπρόθεσμα επιτόκια για τον υπολογισμό των μελλοντικών επιτοκίων λαμβάνοντας υπόψη τη διάρθρωση των επιτοκίων.
Ως αναφορά για τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια, θα χρησιμοποιήσουμε τα επιτόκια του μηδενικά ομόλογα κουπονιών. Ένα παράδειγμα θα ήταν τα Ισπανικά Γραμμάτια Δημοσίου που εκδόθηκαν βραχυπρόθεσμα.
Προτεινόμενα στοιχεία: μηδενικό κουπόνι, επιλογή και μέση αντιστροφή.
Η χρονική διάρθρωση των τιμών μηδενικού κουπονιού αποκτάται από τη γεωμετρική διαδικασία του Μπράουν, που καταγράφει άπειρες αλλαγές στα βραχυπρόθεσμα επιτόκια.
Οι τιμές μηδενικού κουπονιού χρησιμοποιούνται για την αποτίμηση της τιμής των επιλογών μηδενικού κουπονιού και των επιλογών ομολόγων κουπονιών.
Έτσι, για τον υπολογισμό των μελλοντικών τιμών ομολόγων μηδενικού κουπονιού, χρειαζόμαστε βραχυπρόθεσμα επιτόκια μηδενικού κουπονιού. Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε επίσης να χτίσουμε την καμπύλη ή τη χρονοδιάρθρωση των μηδενικών επιτοκίων κουπονιών. Μόλις έχουμε την καμπύλη, μπορούμε να καθορίσουμε την εξέλιξη των μακροπρόθεσμων επιτοκίων δεδομένων των βραχυπρόθεσμων επιτοκίων.
Διάρθρωση όρου ή επιτόκιο των ομολόγων μηδενικών κουπονιών που υπολογίζονται από το μοντέλο Vasicek:
Υποθέσεις μοντέλου ισορροπίας σχετικά με τα επιτόκια
Οι παραδοχές του μοντέλου είναι:
- Ουδετερότητα κινδύνου
Αναλαμβάνουμε τον ουδέτερο κίνδυνο ως την κλασική υπόθεση για αποτίμηση περιουσιακών στοιχείων στις χρηματοπιστωτικές αγορές. Αυτή η υπόθεση είναι το κλειδί για την απόκτηση της τιμής ενός ομολόγου χρησιμοποιώντας την προσομοίωση Monte Carlo.
- Καταγραφή κανονικής κατανομής ομολόγων και επιτοκίων.
Υποθέτουμε την κανονική κατανομή δεδομένου ότι θέτουμε τα επιτόκια ως θετική μεταβλητή όπως οι τιμές ομολόγων. Δεν θα είχε νόημα να αξιολογήσουμε τα ομόλογα με αρνητικές τιμές. Υποθέτοντας ότι η κανονική κατανομή των επιτοκίων, μπορούμε να πούμε ότι τα επιτόκια θα ακολουθήσουν μια γεωμετρική διαδικασία Brown. Εάν η κατανομή των επιτοκίων ήταν μια κανονική κατανομή, τότε θα λέγαμε ότι τα επιτόκια ακολουθούν μια αριθμητική διαδικασία Brownian.
Μοντέλα ισορροπίας ενός παράγοντα
Τα μοντέλα ισορροπίας ενός παράγοντα είναι μοντέλα για τον υπολογισμό της διάρθρωσης των επιτοκίων από τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια.
Λέμε για έναν μόνο παράγοντα δεδομένου ότι ο κίνδυνος ή η αβεβαιότητα δίνεται από έναν μόνο παράγοντα: τη μεταβλητότητα των επιτοκίων. Υπάρχουν μοντέλα ισορροπίας δύο παραγόντων που παρέχουν περισσότερες δυνατότητες στις μεταβολές των επιτοκίων.
Μαθηματικά, ορίζουμε ένα μοντέλο ισορροπίας ενός παράγοντα της φόρμας:
Οπου,
- r (t): βραχυπρόθεσμα επιτόκια σε μια στιγμή t.
- dr: μεταβολή στα επιτόκια (r) με την πάροδο του χρόνου (dt).
- dt: πέρασμα του χρόνου = εξέλιξη του χρόνου.
- m (r) dt: κατεύθυνση ή τάση (m) με βάση τα επιτόκια (r) με την πάροδο του χρόνου (dt).
- s (r): τυπική απόκλιση των επιτοκίων (r).
- dZ: τυχαίο στοιχείο ή διαταραχή που ακολουθεί μια κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διακύμανση 1.
Η παραπάνω έκφραση είναι γνωστή ως στοχαστική διαφορική εξίσωση εκφράζεται μέσω της διαδικασίας Itô.
Τύποι μοντέλων
Τα πιο συνηθισμένα μοντέλα ισορροπίας ενός παράγοντα είναι:
- Μοντέλο Rendleman και Bartter.
- Μοντέλο Vasicek.
- Cox, Ingresoll και Ross μοντέλο.