Η θεωρία του συνόλου είναι ένας κλάδος των μαθηματικών (και της λογικής) που είναι αφιερωμένος στη μελέτη των χαρακτηριστικών των συνόλων και των λειτουργιών που μπορούν να πραγματοποιηθούν μεταξύ τους.
Δηλαδή, η θεωρία των συνόλων είναι ένας τομέας μελέτης που εστιάζεται στα σύνολα. Επομένως, είναι υπεύθυνο για την ανάλυση τόσο των ιδιοτήτων που διαθέτουν όσο και των σχέσεων που μπορούν να δημιουργηθούν μεταξύ τους. Δηλαδή, η ένωση, η τομή, το συμπλήρωμα ή άλλο.
Πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα σύνολο είναι μια ομαδοποίηση στοιχείων, είτε πρόκειται για αριθμούς, γράμματα, λέξεις, συναρτήσεις, σύμβολα, γεωμετρικά σχήματα ή άλλα.
Για τον προσδιορισμό ενός συνόλου, συνήθως ορίζεται το χαρακτηριστικό που τα κοινά στοιχεία του. Για παράδειγμα, ένα σετ Α με ακέραιοι, θετικοί και ζυγοί αριθμοί κάτω από 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Ιστορία της θεωρίας των συνόλων
Η ιστορία της θεωρίας του συνόλου μπορεί να ανιχνευθεί στο έργο του Georg Cantor, ενός Γερμανού μαθηματικού ρωσικής καταγωγής, ο οποίος θεωρείται ο πατέρας αυτής της πειθαρχίας.
Μεταξύ των θεμάτων που μελέτησε ο Cantor, για παράδειγμα, αυτό των άπειρων συνόλων και αριθμητικών συνόλων ξεχωρίζει.
Το πρώτο έργο του Cantor για τη θεωρία των σκηνών χρονολογείται από το 1874. Επιπλέον, αξίζει να σημειωθεί ότι είχε μια συχνή ανταλλαγή ιδεών με τον μαθηματικό Richard Dedekind, ο οποίος συνέβαλε στη μελέτη των φυσικών αριθμών.
Αριθμητικά σύνολα
Τα αριθμητικά σύνολα είναι οι διαφορετικές ομαδοποιήσεις στις οποίες οι αριθμοί ταξινομούνται σύμφωνα με τα διαφορετικά χαρακτηριστικά τους. Είναι μια αφηρημένη κατασκευή που έχει σημαντική εφαρμογή στα μαθηματικά.
Τα αριθμητικά σύνολα είναι περίπλοκα, φανταστικά, πραγματικά, παράλογα, ορθολογικά, ακέραια και φυσικά και μπορούν να απεικονιστούν στο ακόλουθο διάγραμμα Venn:
Σύνθετοι αριθμοίΦανταστικοί αριθμοίΠραγματικοί αριθμοίΠαράλογοι αριθμοίΡητοί αριθμοίΑκέραιοι αριθμοίΦυσικοί αριθμοί
Ορίστε άλγεβρα
Η άλγεβρα των συνόλων περιλαμβάνει τις σχέσεις που μπορούν να δημιουργηθούν μεταξύ τους.
Έτσι, ξεχωρίζουν οι ακόλουθες λειτουργίες:
- Ένωση σετ: Η ένωση δύο ή περισσότερων συνόλων περιέχει κάθε στοιχείο που περιέχεται σε τουλάχιστον ένα από αυτά.
- Διατομή συνόλων: Η διασταύρωση δύο ή περισσότερων συνόλων περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία που αυτά τα σύνολα μοιράζονται ή έχουν κοινό.
- Ορισμός διαφοράς: Η διαφορά ενός σετ σε σχέση με το άλλο είναι ίση με τα στοιχεία του πρώτου σετ μείον τα στοιχεία του δεύτερου.
- Συμπληρωματικά σύνολα: Το συμπλήρωμα ενός συνόλου περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία που δεν περιλαμβάνονται σε αυτό το σύνολο (αλλά ανήκουν σε ένα άλλο σύνολο αναφοράς).
- Συμμετρική διαφορά: Η συμμετρική διαφορά δύο συνόλων περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία που είναι το ένα ή το άλλο, αλλά όχι και τα δύο ταυτόχρονα.
- Καρτεσιανό προϊόν: Είναι μια λειτουργία που οδηγεί σε ένα νέο σύνολο. Περιέχει ως στοιχεία τα ταξινομημένα ζεύγη ή τις πλειάδες (σειρά σειρά) των στοιχείων που ανήκουν σε δύο ή περισσότερα σύνολα. Τους ταξινομούνται ζεύγη εάν είναι δύο σύνολα και πλειάδες εάν είναι περισσότερα από δύο σύνολα.