Το θεώρημα του Bayes χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της πιθανότητας ενός συμβάντος, έχοντας πληροφορίες εκ των προτέρων σχετικά με αυτό το συμβάν.
Μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός συμβάντος Α, γνωρίζοντας επίσης ότι το Α πληροί ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό που καθορίζει την πιθανότητά του. Το θεώρημα του Bayes κατανοεί την πιθανότητα αντίστροφα στο θεώρημα της συνολικής πιθανότητας. Το θεώρημα της συνολικής πιθανότητας συνάγει ένα συμβάν Β, από τα αποτελέσματα των γεγονότων A. Από την πλευρά του, ο Bayes υπολογίζει την πιθανότητα του A να εξαρτάται από το B.
Το θεώρημα του Bayes έχει αμφισβητηθεί ευρέως. Αυτό οφείλεται κυρίως στην κακή εφαρμογή του. Εφόσον, εφόσον πληρούνται οι παραδοχές των διαχωριστικών και εξαντλητικών γεγονότων, το θεώρημα είναι απολύτως έγκυρο.
Ο τύπος θεωρήματος Bayes
Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα όπως ορίζεται από τον Bayes σε αυτόν τον τύπο συμβάντος, χρειαζόμαστε έναν τύπο. Ο τύπος ορίζεται μαθηματικά ως:
Όπου το Β είναι το συμβάν για το οποίο έχουμε προηγούμενες πληροφορίες και το Α (η) είναι τα διαφορετικά συμβάντα. Στο μέρος του αριθμητή έχουμε την υπό όρους πιθανότητα και στο κάτω μέρος η συνολική πιθανότητα. Σε κάθε περίπτωση, αν και ο τύπος φαίνεται λίγο αφηρημένος, είναι πολύ απλός. Για να το αποδείξουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα όπου αντί για Α (1), Α (2) και Α (3), θα χρησιμοποιήσουμε άμεσα τα Α, Β και Γ.
Παράδειγμα θεωρήματος Bayes
Μια εταιρεία διαθέτει εργοστάσιο στις Ηνωμένες Πολιτείες που διαθέτει τρία μηχανήματα, Α, Β και Γ, που παράγουν δοχεία για μπουκάλια νερού. Η μηχανή Α είναι γνωστό ότι παράγει το 40% της συνολικής ποσότητας, η μηχανή Β 30% και η μηχανή C 30%. Κάθε μηχανή είναι επίσης γνωστό ότι παράγει ελαττωματική συσκευασία. Με τέτοιο τρόπο ώστε η μηχανή Α παράγει 2% ελαττωματικών συσκευασιών της συνολικής παραγωγής της, μηχανή Β 3% και μηχανή C 5%. Τούτου λεχθέντος, προκύπτουν δύο ερωτήματα:
Ρ (Α) = 0,40 P (D / A) = 0,02
Ρ (Β) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Εάν ένα δοχείο έχει κατασκευαστεί από το εργοστάσιο αυτής της εταιρείας στις Ηνωμένες Πολιτείες, ποια είναι η πιθανότητα να είναι ελαττωματικό;
Υπολογίζεται η συνολική πιθανότητα. Δεδομένου ότι, από τα διαφορετικά γεγονότα, υπολογίζουμε την πιθανότητα να είναι ελαττωματικό.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 χ 0,03) + (0,3 χ 0,05) = 0,032
Εκφρασμένο ως ποσοστό, θα λέγαμε ότι η πιθανότητα ότι ένα δοχείο που κατασκευάζεται από το εργοστάσιο αυτής της εταιρείας στις Ηνωμένες Πολιτείες είναι ελαττωματικό είναι 3,2%.
2. Συνεχίζοντας την προηγούμενη ερώτηση, εάν ένα δοχείο αποκτήθηκε και είναι ελαττωματικό, ποια είναι η πιθανότητα ότι έχει κατασκευαστεί από τη μηχανή Α; Και από τη μηχανή Β; Και από τη μηχανή C;
Το θεώρημα του Bayes χρησιμοποιείται εδώ. Έχουμε προηγούμενες πληροφορίες, δηλαδή, γνωρίζουμε ότι η συσκευασία είναι ελαττωματική. Φυσικά, γνωρίζοντας ότι είναι ελαττωματικό, θέλουμε να μάθουμε ποια είναι η πιθανότητα να έχει παραχθεί από ένα από τα μηχανήματα.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Γνωρίζοντας ότι ένα δοχείο είναι ελαττωματικό, η πιθανότητα ότι έχει παραχθεί από τη μηχανή Α είναι 25%, ότι έχει παραχθεί από τη μηχανή Β είναι 28% και ότι έχει παραχθεί από τη μηχανή C είναι 47%.