Η αναλυτική γεωμετρία είναι ένας κλάδος της γεωμετρίας που μελετά τα γεωμετρικά σώματα μέσω ενός συστήματος συντεταγμένων. Με αυτόν τον τρόπο, οι αριθμοί μπορούν να εκφραστούν ως αλγεβρικές εξισώσεις.
Η αναλυτική γεωμετρία εντοπίζει, σε ένα δισδιάστατο επίπεδο, καθένα από τα σημεία που απαρτίζουν ένα σχήμα. Όλα αυτά, με βάση δύο γραμμές, τον άξονα της τετμημένης (οριζόντιος άξονας Χ) και η τεταγμένη (κατακόρυφος άξονας) Γ).
Άξονες Χ και Γ είναι κάθετα. Δηλαδή, σχηματίζουν τέσσερις γωνίες 90º (μοίρες) στη διασταύρωση τους. Με αυτόν τον τρόπο, εργαζόμαστε σε ένα σύστημα συντεταγμένων γνωστό ως Καρτεσιανό επίπεδο.
Κάθε σημείο του αεροπλάνου έχει συντεταγμένη του ακόλουθου τύπου (Χ,Γ). Έτσι, το σημείο (3,8) είναι αυτό που προκύπτει από την ένωση του σημείου 3 στον οριζόντιο άξονα και το σημείο 8 στον κατακόρυφο άξονα.
Ένα σημαντικό γεγονός που πρέπει να αναφέρουμε είναι ότι ο φιλόσοφος Ρενέ Ντεκάρτ θεωρείται ο πατέρας της γεωμετρίας. Ειδικά μετά τη δημοσίευση του έργου του The Discourse on Method, και ιδιαίτερα σε ένα από τα παραρτήματά του που ονομάζεται La Géométrie.
Για απλότητα, αυτό που προτείνει η αναλυτική γεωμετρία είναι να ενώσει την άλγεβρα με τη γεωμετρία ή, για να είμαστε πιο ακριβείς, να εφαρμόσουμε την πρώτη πειθαρχία στη δεύτερη, όπως θα γίνει πιο σαφές παρακάτω.
Αναλυτικά παραδείγματα γεωμετρίας
Εφαρμόζοντας την αναλυτική γεωμετρία μπορούμε να περιγράψουμε ένα γεωμετρικό σχήμα χρησιμοποιώντας μια αλγεβρική εξίσωση.
Στην περίπτωση μιας γραμμής, για παράδειγμα, μπορούμε να την ορίσουμε ως εξίσωση πρώτου βαθμού όπως η ακόλουθη:
y = xm + b
Στην εξίσωση που εμφανίζεται, Γ είναι η συντεταγμένη στον άξονα τεταγμένης (κατακόρυφη), Χ είναι η συντεταγμένη στον άξονα της τετμημένης (οριζόντια), Μ είναι η κλίση (κλίση) της γραμμής σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης, και σι είναι το σημείο της γραμμής που τέμνει τον τεταγμένο άξονα.
Για παράδειγμα, μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραμμή με την εξίσωση: y = -0,5x + 3
Γνωρίζοντας τις εξισώσεις δύο γραμμών, μπορούμε να γνωρίζουμε, για παράδειγμα, εάν είναι παράλληλες. Δηλαδή, δεν τέμνονται σε κανένα σημείο. Σε αυτήν την περίπτωση, η κλίση (Μ) και στις δύο εξισώσεις πρέπει να είναι οι ίδιες, μόνο το σημείο όπου οι άξονες τέμνονται να είναι διαφορετικοί Χ και Γ.
Επίσης, εάν οι γραμμές δεν είναι παράλληλες, μπορείτε πάντα να βρείτε το σημείο όπου τέμνονται (εκτός αν είναι συμπτωματικές ή ίδιες γραμμές).
Ένας άλλος τύπος γεωμετρικών σχημάτων που μπορούν να περιγραφούν από εξισώσεις είναι οι κύκλοι. Σε αυτήν την περίπτωση θα έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση, όπως η ακόλουθη:
Για να εξηγήσουμε την παραπάνω εξίσωση, ας θεωρήσουμε το κέντρο της ως το σημείο (προς την,σι) του καρτεσιανού αεροπλάνου. Ομοίως, οποιοδήποτε από τα σημεία της περιφέρειας βρίσκεται στη συντεταγμένη (Χ,Γ), και η ακτίνα του σχήματος είναι ρ.
Σε αυτήν τη γραμμή, οι παραβολές έχουν την ακόλουθη μορφή: y = ax2 + bx + γ.
