Τα μοντέλα Logit και Probit είναι μη γραμμικά οικονομετρικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται όταν η εξαρτημένη μεταβλητή είναι δυαδική ή πλαστή, δηλαδή μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές.
Το απλούστερο μοντέλο δυαδικής επιλογής είναι το μοντέλο γραμμικής πιθανότητας. Ωστόσο, υπάρχουν δύο προβλήματα με τη χρήση του:
- Οι πιθανότητες που λαμβάνονται μπορεί να είναι μικρότερες από μηδέν ή μεγαλύτερες από μία,
- Το μερικό αποτέλεσμα παραμένει πάντα σταθερό.
Για να ξεπεραστούν αυτά τα μειονεκτήματα, σχεδιάστηκαν το μοντέλο logit και το μοντέλο probit, τα οποία χρησιμοποιούν μια συνάρτηση που υποθέτει μόνο τιμές μεταξύ μηδέν και ενός. Αυτές οι συναρτήσεις δεν είναι γραμμικές και αντιστοιχούν στις συναρτήσεις αθροιστικής κατανομής.
Μοντέλο Logit
Στο μοντέλο Logit, η πιθανότητα επιτυχίας αξιολογείται στη συνάρτηση G (z) = / (z) όπου
Αυτή είναι η τυπική συνάρτηση λογιστικής αθροιστικής διανομής.
Για παράδειγμα, με αυτήν τη συνάρτηση και αυτές τις παραμέτρους θα λάβουμε μια τιμή:
Να θυμάστε ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι η προβλεπόμενη πιθανότητα επιτυχίας. Το Β0 υποδεικνύει την προβλεπόμενη πιθανότητα επιτυχίας όταν κάθε ένα από τα x ισούται με μηδέν. Ο συντελεστής Β1 Το όριο μετρά τη διακύμανση στην προβλεπόμενη πιθανότητα επιτυχίας όταν η μεταβλητή x1 αυξάνεται κατά μία μονάδα.
Μοντέλο Probit
Στο μοντέλο Probit, η πιθανότητα επιτυχίας αξιολογείται στη συνάρτηση G (z) =Φ (ζ) όπου
Αυτή είναι η τυπική συνάρτηση κανονικής αθροιστικής κατανομής.
Για παράδειγμα, με αυτήν τη συνάρτηση και αυτές τις παραμέτρους θα λάβουμε μια τιμή:
Μερικές επιδράσεις στο Logit και στο Probit
Για να προσδιορίσετε τη μερική επίδραση του x1 στην πιθανότητα επιτυχίας, υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις:
Για τον υπολογισμό του μερικού αποτελέσματος κάθε μεταβλητή πρέπει να αντικατασταθεί Χ για μια συγκεκριμένη τιμή, χρησιμοποιείται συχνά ο δείκτης μέσου όρου των μεταβλητών.
Μέθοδοι για την εκτίμηση Logit και Probit
Μη γραμμικά ελάχιστα τετράγωνα
Ο μη γραμμικός εκτιμητής ελάχιστων τετραγώνων επιλέγει τις τιμές που ελαχιστοποιούν το άθροισμα των τετραγώνων υπολειμμάτων
Σε μεγάλα δείγματα, ο μη γραμμικός εκτιμητής ελάχιστων τετραγώνων είναι συνεπής, κανονικά κατανεμημένος και γενικά λιγότερο αποτελεσματικός από τη μέγιστη πιθανότητα.
Μέγιστη πιθανότητα
Ο εκτιμητής μέγιστης πιθανότητας επιλέγει τις τιμές που μεγιστοποιούν τον λογάριθμο της πιθανότητας
Σε μεγάλα δείγματα, ο εκτιμητής μέγιστης πιθανότητας είναι συνεπής, κανονικά κατανεμημένος και είναι ο πιο αποτελεσματικός (επειδή έχει τη μικρότερη διακύμανση όλων των εκτιμητών)
Χρησιμότητα των μοντέλων Logit και Probit
Όπως είπαμε στην αρχή, τα προβλήματα του μοντέλου γραμμικής πιθανότητας είναι διπλά:
- Οι πιθανότητες που λαμβάνονται μπορεί να είναι μικρότερες από μηδέν ή μεγαλύτερες από μία,
- Το μερικό αποτέλεσμα παραμένει πάντα σταθερό.
Τα μοντέλα logit και probit επιλύουν και τα δύο προβλήματα: οι τιμές (αντιπροσωπεύουν πιθανότητες) θα είναι πάντα μεταξύ (0,1) και το μερικό αποτέλεσμα θα αλλάξει ανάλογα με τις παραμέτρους. Έτσι, για παράδειγμα, η πιθανότητα ενός ατόμου να συμμετάσχει σε μια επίσημη εργασία θα είναι διαφορετική εάν έχει μόλις αποφοιτήσει ή εάν έχει 15 χρόνια εμπειρίας.
Βιβλιογραφικές αναφορές:
Wooldridge, J. (2010) Εισαγωγή στην Οικονομετρία. (4η έκδοση) Μεξικό: Cengage Learning.
Μοντέλο παλινδρόμησης