Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού είναι το μέγεθος του, ανεξάρτητα από το σύμβολο που προηγείται.
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού, με άλλα λόγια, είναι η τιμή που προκύπτει από την εξάλειψη του σημείου που αντιστοιχεί σε αυτόν.
Για να το εξετάσουμε με πιο επίσημους όρους, έχουμε τις ακόλουθες προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται, όπου το x μεταξύ δύο ράβδων σημαίνει ότι βρίσκουμε την απόλυτη τιμή του x:
| x | = x εάν x≥ 0
| x | = -x εάν x <0
Δηλαδή, η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι αυτός ο ίδιος αριθμός. Αντίθετα, η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ίση με αυτόν τον αριθμό, αλλά με ένα αρνητικό πρόσημο μπροστά του. Δηλαδή, πολλαπλασιασμένος επί -1.
Επίσης, η απόλυτη τιμή -10 είναι - (- 10) = 10. Έτσι, πρέπει να τονίσουμε ότι η απόλυτη τιμή είναι πάντα θετική.
Ιδιότητες απόλυτης τιμής
Μεταξύ των ιδιοτήτων της απόλυτης τιμής, ξεχωρίζουν τα ακόλουθα:
- Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού και το αντίθετό του είναι η ίδια. Δηλαδή, η τιμή -19 και 19 είναι η ίδια: 19.
- Η απόλυτη τιμή ενός αθροίσματος είναι ίση ή μικρότερη από το άθροισμα των απόλυτων τιμών των προσθηκών. Δηλαδή, είναι αλήθεια ότι:
| x + y | ≤ | x | + | y |
Μπορούμε να ελέγξουμε τα παραπάνω με μερικά παραδείγματα:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
|12-25|≤|12|+|-25|
|-13|≤12+25
13≤37
|16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|
|26|≤16+31+21
26≤68
- Μια άλλη ιδιότητα είναι αυτή που ονομάζουμε πολλαπλασιαστική ιδιότητα. Αυτό μας λέει ότι η απόλυτη τιμή ενός προϊόντος είναι ίση με το προϊόν των απόλυτων τιμών των παραγόντων. Δηλαδή, ισχύουν τα ακόλουθα:
| xy | = | x |. | y |
Μπορούμε να ελέγξουμε τα παραπάνω στα ακόλουθα παραδείγματα:
| 3 × 4 | = | 3 | x | 4 |
|12|=3×4
12=12
| 6x-5 | = | 6 | x | -5 |
|-30|=6×5
30=30
- Ως ομόλογο της πολλαπλασιαστικής ιδιότητας, έχουμε εκείνη της διατήρησης της διαίρεσης, η οποία μας λέει ότι η απόλυτη τιμή μιας διαίρεσης είναι ίση με το πηλίκο των απόλυτων τιμών των ίδιων στοιχείων της εν λόγω λειτουργίας. Αυτό, αρκεί ο διαιρέτης να μην είναι μηδενικός. Δηλαδή, είναι αλήθεια ότι:
| x / y | = | x | / | y |
Μπορούμε να το δούμε σε μερικά παραδείγματα:
|60/5|=|60|/|5|
|12|=60/5
12=12
|-87/3|=|-87|/|3|
|-29|=87/3
29=29
Απόλυτη τιμή σε ένα γράφημα
Στη συνέχεια, ας δούμε πώς θα ήταν ένα παράδειγμα απόλυτης αξίας σε ένα καρτεσιανό επίπεδο.
Σε αυτήν την περίπτωση, έχουμε μια απλή συνάρτηση y = | x |, και σημειώνουμε ότι η τιμή του y θα είναι πάντα θετική, ανεξάρτητα από την τιμή του x.
