Απόλυτη τιμή - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού είναι το μέγεθος του, ανεξάρτητα από το σύμβολο που προηγείται.

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού, με άλλα λόγια, είναι η τιμή που προκύπτει από την εξάλειψη του σημείου που αντιστοιχεί σε αυτόν.

Για να το εξετάσουμε με πιο επίσημους όρους, έχουμε τις ακόλουθες προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται, όπου το x μεταξύ δύο ράβδων σημαίνει ότι βρίσκουμε την απόλυτη τιμή του x:

| x | = x εάν x≥ 0

| x | = -x εάν x <0

Δηλαδή, η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι αυτός ο ίδιος αριθμός. Αντίθετα, η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ίση με αυτόν τον αριθμό, αλλά με ένα αρνητικό πρόσημο μπροστά του. Δηλαδή, πολλαπλασιασμένος επί -1.

Επίσης, η απόλυτη τιμή -10 είναι - (- 10) = 10. Έτσι, πρέπει να τονίσουμε ότι η απόλυτη τιμή είναι πάντα θετική.

Ιδιότητες απόλυτης τιμής

Μεταξύ των ιδιοτήτων της απόλυτης τιμής, ξεχωρίζουν τα ακόλουθα:

• Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού και το αντίθετό του είναι η ίδια. Δηλαδή, η τιμή -19 και 19 είναι η ίδια: 19.
• Η απόλυτη τιμή ενός αθροίσματος είναι ίση ή μικρότερη από το άθροισμα των απόλυτων τιμών των προσθηκών. Δηλαδή, είναι αλήθεια ότι:

| x + y | ≤ | x | + | y ​​|

Μπορούμε να ελέγξουμε τα παραπάνω με μερικά παραδείγματα:

|8+9|≤|8|+|9|

|17|≤8+9

17≤17

|12-25|≤|12|+|-25|

|-13|≤12+25

13≤37

|16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|

|26|≤16+31+21

26≤68

• Μια άλλη ιδιότητα είναι αυτή που ονομάζουμε πολλαπλασιαστική ιδιότητα. Αυτό μας λέει ότι η απόλυτη τιμή ενός προϊόντος είναι ίση με το προϊόν των απόλυτων τιμών των παραγόντων. Δηλαδή, ισχύουν τα ακόλουθα:

| xy | = | x |. | y |

Μπορούμε να ελέγξουμε τα παραπάνω στα ακόλουθα παραδείγματα:

| 3 × 4 | = | 3 | x | 4 |

|12|=3×4

12=12

| 6x-5 | = | 6 | x | -5 |

|-30|=6×5

30=30

• Ως ομόλογο της πολλαπλασιαστικής ιδιότητας, έχουμε εκείνη της διατήρησης της διαίρεσης, η οποία μας λέει ότι η απόλυτη τιμή μιας διαίρεσης είναι ίση με το πηλίκο των απόλυτων τιμών των ίδιων στοιχείων της εν λόγω λειτουργίας. Αυτό, αρκεί ο διαιρέτης να μην είναι μηδενικός. Δηλαδή, είναι αλήθεια ότι:

| x / y | = | x | / | y |

Μπορούμε να το δούμε σε μερικά παραδείγματα:

|60/5|=|60|/|5|

|12|=60/5

12=12

|-87/3|=|-87|/|3|

|-29|=87/3

29=29

Απόλυτη τιμή σε ένα γράφημα

Στη συνέχεια, ας δούμε πώς θα ήταν ένα παράδειγμα απόλυτης αξίας σε ένα καρτεσιανό επίπεδο.

Σε αυτήν την περίπτωση, έχουμε μια απλή συνάρτηση y = | x |, και σημειώνουμε ότι η τιμή του y θα είναι πάντα θετική, ανεξάρτητα από την τιμή του x.