Καθοριστικός παράγοντας μιας μήτρας - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Ο καθοριστής ενός πίνακα διαστάσεων mxn είναι το αποτέλεσμα της αφαίρεσης του πολλαπλασιασμού των στοιχείων της κύριας διαγώνιας με τον πολλαπλασιασμό των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγώνιας.

Με άλλα λόγια, ο καθοριστής μιας μήτρας 2 × 2 λαμβάνεται τραβώντας ένα Χ πάνω από τα στοιχεία του. Αρχικά σχεδιάζουμε τη διαγώνια που ξεκινά στην κορυφή στην αριστερή πλευρά του X (κύρια διαγώνια). Στη συνέχεια σχεδιάζουμε τη διαγώνια που ξεκινά στην κορυφή στη δεξιά πλευρά του X (δευτερεύουσα διαγώνια).

Για να υπολογίσουμε τον καθοριστικό παράγοντα μιας μήτρας, χρειαζόμαστε τη διάστασή του για να έχουμε τον ίδιο αριθμό σειρών (m) και στηλών (n). Ως εκ τούτου, m = ν. Η διάσταση ενός πίνακα απεικονίζεται ως ο πολλαπλασιασμός της διάστασης γραμμής με τη διάσταση της στήλης.

Υπάρχουν άλλοι πιο περίπλοκοι τρόποι υπολογισμού του καθοριστικού παράγοντα μιας μήτρας με διάσταση μεγαλύτερη από 2 × 2. Αυτές οι μορφές είναι γνωστές ως κανόνας Laplace και κανόνας Sarrus.

Ο καθοριστής μπορεί να υποδειχθεί με δύο τρόπους:

• Det (Ζ)
• |Ζ_mxn|

Καλούμε (m) για τη διάσταση των σειρών και (n) για τη διάσταση των στηλών. Έτσι, ένας πίνακας ΜΧν θα έχω Μσειρές και νστήλες:

• Εγώαντιπροσωπεύει καθεμία από τις σειρές ενός πίνακα Ζ_mxn.
• ιαντιπροσωπεύει καθεμία από τις στήλες ενός πίνακα Ζ_mxn.

Συνιστώμενα άρθρα: τυπολογίες μήτρας, ανεστραμμένη μήτρα.

Ιδιότητες καθοριστικών παραγόντων

1. |Ζ_mxn| ισούται με τον καθοριστικό παράγοντα μιας μήτρας Ζ_mxn μεταφέρθηκε:

• Ο αντίστροφος καθοριστικός παράγοντας μιας μήτρας Ζ_mxnαντιστρέψιμο ισούται με τον καθοριστικό παράγοντα μιας μήτρας Ζ_mxn ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ:

• Ο καθοριστικός παράγοντας μιας μοναδικής μήτραςμικρό_mxn(μη αναστρέψιμο) είναι 0.

μικρό_mxn=0

• |Ζ_mxn|, όπου m = n, πολλαπλασιασμένος επί μια σταθερά η οποιοδήποτε είναι:

• Ο καθοριστής του προϊόντος δύο πινάκων Ζ_mxnΓ Χ_mxn, όπου m = n, είναι ίσο με το προϊόν των καθοριστικών παραγόντων του Ζ_mxnΓ Χ_mxn

Πρακτικό παράδειγμα

Μήτρα διαστάσεων 2 × 2

Ένας πίνακας διαστάσεων 2×2 καθοριστικό της είναι η αφαίρεση του προϊόντος των στοιχείων της κύριας διαγώνιας με το προϊόν των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγώνιας.

Ορίζουμε Ζ_2×2 Τι:

Ο υπολογισμός του καθοριστικού του θα ήταν:

Παράδειγμα υπολογισμού προσδιοριστή

Ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας Χ_2×2είναι 14.

Ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας σολ_2×2είναι 0.