Ο καθοριστής ενός πίνακα διαστάσεων mxn είναι το αποτέλεσμα της αφαίρεσης του πολλαπλασιασμού των στοιχείων της κύριας διαγώνιας με τον πολλαπλασιασμό των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγώνιας.
Με άλλα λόγια, ο καθοριστής μιας μήτρας 2 × 2 λαμβάνεται τραβώντας ένα Χ πάνω από τα στοιχεία του. Αρχικά σχεδιάζουμε τη διαγώνια που ξεκινά στην κορυφή στην αριστερή πλευρά του X (κύρια διαγώνια). Στη συνέχεια σχεδιάζουμε τη διαγώνια που ξεκινά στην κορυφή στη δεξιά πλευρά του X (δευτερεύουσα διαγώνια).
Για να υπολογίσουμε τον καθοριστικό παράγοντα μιας μήτρας, χρειαζόμαστε τη διάστασή του για να έχουμε τον ίδιο αριθμό σειρών (m) και στηλών (n). Ως εκ τούτου, m = ν. Η διάσταση ενός πίνακα απεικονίζεται ως ο πολλαπλασιασμός της διάστασης γραμμής με τη διάσταση της στήλης.
Υπάρχουν άλλοι πιο περίπλοκοι τρόποι υπολογισμού του καθοριστικού παράγοντα μιας μήτρας με διάσταση μεγαλύτερη από 2 × 2. Αυτές οι μορφές είναι γνωστές ως κανόνας Laplace και κανόνας Sarrus.
Ο καθοριστής μπορεί να υποδειχθεί με δύο τρόπους:
- Det (Ζ)
- |Ζmxn|
Καλούμε (m) για τη διάσταση των σειρών και (n) για τη διάσταση των στηλών. Έτσι, ένας πίνακας ΜΧν θα έχω Μσειρές και νστήλες:
- Εγώαντιπροσωπεύει καθεμία από τις σειρές ενός πίνακα Ζmxn.
- ιαντιπροσωπεύει καθεμία από τις στήλες ενός πίνακα Ζmxn.
Συνιστώμενα άρθρα: τυπολογίες μήτρας, ανεστραμμένη μήτρα.
Ιδιότητες καθοριστικών παραγόντων
- |Ζmxn| ισούται με τον καθοριστικό παράγοντα μιας μήτρας Ζmxn μεταφέρθηκε:
- Ο αντίστροφος καθοριστικός παράγοντας μιας μήτρας Ζmxnαντιστρέψιμο ισούται με τον καθοριστικό παράγοντα μιας μήτρας Ζmxn ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ:
- Ο καθοριστικός παράγοντας μιας μοναδικής μήτραςμικρόmxn(μη αναστρέψιμο) είναι 0.
μικρόmxn=0
- |Ζmxn|, όπου m = n, πολλαπλασιασμένος επί μια σταθερά η οποιοδήποτε είναι:
- Ο καθοριστής του προϊόντος δύο πινάκων ΖmxnΓ Χmxn, όπου m = n, είναι ίσο με το προϊόν των καθοριστικών παραγόντων του ΖmxnΓ Χmxn
Πρακτικό παράδειγμα
Μήτρα διαστάσεων 2 × 2
Ένας πίνακας διαστάσεων 2×2 καθοριστικό της είναι η αφαίρεση του προϊόντος των στοιχείων της κύριας διαγώνιας με το προϊόν των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγώνιας.
Ορίζουμε Ζ2×2 Τι:
Ο υπολογισμός του καθοριστικού του θα ήταν:
Παράδειγμα υπολογισμού προσδιοριστή
Ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας Χ2×2είναι 14.
Ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας σολ2×2είναι 0.
Μήτρα ταυτότηταςΜεταφερόμενη μήτρα
