Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που εξαρτάται από τα παράγωγα άλλων συναρτήσεων.
Μια διαφορική εξίσωση, κατά κάποιον τρόπο, είναι το επόμενο βήμα στην εξίσωση διαφοράς. Σε αυτήν την περίπτωση, αντί να σχετίζεται με άλλες συναρτήσεις, σχετίζεται με τα παράγωγα άλλων συναρτήσεων. Δεδομένου ότι είναι μια προηγμένη έννοια, είναι λογικό να προκύψει το ακόλουθο ερώτημα: Τι είναι ένα παράγωγο;
Ένα παράγωγο είναι μια συνάρτηση που αντιπροσωπεύει το ρυθμό με τον οποίο αλλάζει η τιμή μιας συνάρτησης. Τεχνικά, υπολογίστε την κλίση μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, το παράγωγο του Y = 2X είναι ίσο με 2. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε πρόσθετη μονάδα του X η τιμή του Y αλλάζει κατά 2 μονάδες. Στην πραγματικότητα, αυτό ισχύει:
Πίσω στην έννοια της διαφορικής εξίσωσης, η εξίσωση που σχετίζεται με διαφορετικές συναρτήσεις ανταλλαγής και οδηγεί σε μια άλλη συνάρτηση θα ήταν μια διαφορική εξίσωση.
Εφαρμογές διαφορικών εξισώσεων
Οι διαφορικές εξισώσεις είναι εξισώσεις που μελετούν τη δυναμική. Δηλαδή, τα φαινόμενα που κινούνται και αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου, ισχύουν για πολύ διαφορετικά πεδία. Για παράδειγμα:
- ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ
- Φυσικός μηχανικός
- Οικονομία
- Θερμοδυναμική
- Ηλεκτρονικά κυκλώματα
- Μηχανική
- Αεροδυναμική
Ο λόγος για τον οποίο τα οικονομικά χρησιμοποιούν αυτούς τους τύπους εξισώσεων οφείλεται στη φύση της. Η οικονομία, πολύ μακριά από το να είναι στατική, είναι ένα πολύ δυναμικό φαινόμενο.
Παράδειγμα χρησιμότητας διαφορικών εξισώσεων
Αν και δεν είναι ακριβώς έτσι, η ιδέα θα ήταν η ακόλουθη:
Θέλουμε να μάθουμε πώς αλλάζουν τα οφέλη ενός αγρότη ανάλογα με ορισμένες μεταβλητές όπως:
Παραλλαγή ανά αγρότη = Διακύμανση του ποσοστού του χρησιμοποιούμενου νερού και διακύμανση του ποσοστού των καλλιεργούμενων σπόρων
- Φυσικά, η διακύμανση του χρησιμοποιούμενου νερού εξαρτάται από τη βροχή, την τιμή του νερού ή τον άνεμο.
- Οι σπόροι που καλλιεργούνται εξαρτώνται από την ποσότητα της εύφορης γης, την τιμή των σπόρων ή την ποιότητα.
Δηλαδή, οι δύο μεταβλητές (νερό και σπόροι) από τις οποίες εξαρτάται το όφελος με τη σειρά τους εξαρτώνται από άλλες μεταβλητές. Προχωρώντας ακόμη περισσότερο, ποια είναι η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης που μας επιτρέπει να γνωρίζουμε είναι η ακόλουθη:
Πώς διαφέρει το όφελος λαμβάνοντας υπόψη τη διακύμανση του ποσοστού του χρησιμοποιούμενου νερού και τη διακύμανση του ποσοστού των σπόρων;
Ο σκοπός αυτού του άρθρου είναι να παρουσιάσει μια ιδέα όσο το δυνατόν πιο διαισθητική για το τι είναι μια διαφορική εξίσωση. Στην αρχή είναι ένας αφηρημένος όρος, αλλά με παραδείγματα και βαθύτερα με το θέμα, μπορούν να γίνουν κατανοητοί.
Ένα άλλο πολύ διαφορετικό πράγμα είναι το ψήφισμά του. Ούτε θα πάμε στο μαθηματικό ψήφισμα λόγω της πολυπλοκότητάς του. Ωστόσο, σήμερα μέσω προγραμμάτων υπολογιστών, οι υπολογιστές υπολογίζουν αυτόματα λύσεις σε αυτούς τους τύπους προβλημάτων.