Αλγεβρικά κλάσματα - Τι είναι, ορισμός και έννοια
Τα αλγεβρικά κλάσματα είναι εκείνα που μπορούν να αναπαρασταθούν ως πηλίκο δύο πολυωνύμων, δηλαδή ως ο διαχωρισμός μεταξύ δύο αλγεβρικών εκφράσεων που περιέχουν αριθμούς και γράμματα.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής ενός αλγεβρικού κλάσματος μπορούν να περιέχουν προσθήκες, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς ή ακόμη και δυνάμεις.
Ένα άλλο σημείο που πρέπει να θυμάστε είναι ότι το αποτέλεσμα ενός αλγεβρικού κλάσματος πρέπει να υπάρχει, επομένως ο παρονομαστής δεν πρέπει να είναι μηδενικός.
Δηλαδή, πληρούται η ακόλουθη συνθήκη, όπου τα A (x) και B (x) είναι τα πολυώνυμα που σχηματίζουν το αλγεβρικό κλάσμα:
Μερικά παραδείγματα αλγεβρικών κλασμάτων μπορεί να είναι τα ακόλουθα:
Ισοδύναμα αλγεβρικά κλάσματα
Δύο αλγεβρικά κλάσματα είναι ισοδύναμα όταν ισχύουν τα ακόλουθα:
Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα και των δύο κλασμάτων είναι το ίδιο, και επιπλέον, το προϊόν πολλαπλασιασμού του αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου είναι ίσο με το προϊόν του παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου.
Πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι για να κατασκευάσουμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με αυτό που έχουμε ήδη, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό ή με την ίδια αλγεβρική έκφραση. Για παράδειγμα, εάν έχουμε τα ακόλουθα κλάσματα:
Επαληθεύουμε ότι και τα δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα και μπορούν επίσης να σημειωθούν τα εξής:
Δηλαδή, όπως αναφέραμε προηγουμένως, όταν πολλαπλασιάζουμε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή με την ίδια αλγεβρική έκφραση, λαμβάνουμε ένα ισοδύναμο αλγεβρικό κλάσμα.
Τύποι αλγεβρικών κλασμάτων
Τα κλάσματα μπορούν να ταξινομηθούν σε:
- Απλός: Είναι αυτά που έχουμε παρατηρήσει σε ολόκληρο το άρθρο, όπου ούτε ο αριθμητής ούτε ο παρονομαστής περιέχουν άλλο κλάσμα.
- Συγκρότημα: Ο αριθμητής και / ή ο παρονομαστής περιέχουν ένα άλλο κλάσμα. Ένα παράδειγμα μπορεί να είναι το ακόλουθο:
Ένας άλλος τρόπος ταξινόμησης των αλγεβρικών κλασμάτων είναι ο εξής:
- Λογικός: Όταν η μεταβλητή ανεβαίνει σε ισχύ που δεν είναι κλάσμα (όπως τα παραδείγματα που έχουμε δει σε όλο το άρθρο).
- Παράλογος: Όταν η μεταβλητή ανυψώνεται σε ισχύ που είναι κλάσμα, όπως και η ακόλουθη περίπτωση:
Στο παράδειγμα, θα μπορούσαμε να εξορθολογίσουμε το κλάσμα αντικαθιστώντας τη μεταβλητή με μια άλλη που μας επιτρέπει να μην έχουμε κλάσματα ως δυνάμεις. Τότε ναι Χ1/2= και και αντικαθιστούμε στην εξίσωση θα έχουμε τα εξής:
Η ιδέα είναι να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των δεικτών των ριζών, το οποίο, στην περίπτωση αυτή, είναι 1/2 (1 * 1/2). Έτσι, εάν έχουμε την ακόλουθη παράλογη εξίσωση:
Πρέπει πρώτα να βρούμε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των δεικτών των ριζών, που θα ήταν: 2 * 5 = 10. Έτσι, θα έχουμε μια μεταβλητή y = x1/10. Εάν αντικαταστήσουμε στο κλάσμα, θα έχουμε τώρα ένα λογικό κλάσμα:
