Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων
Ένας γραμμικός συνδυασμός φορέων εμφανίζεται όταν ένας φορέας μπορεί να εκφραστεί ως γραμμική συνάρτηση άλλων φορέων που είναι γραμμικά ανεξάρτητοι.
Με άλλα λόγια, ο γραμμικός συνδυασμός φορέων είναι ότι ένας φορέας μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός άλλων φορέων που είναι γραμμικά ανεξάρτητοι ο ένας από τον άλλο.
Απαιτήσεις για γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων
Ο γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων πρέπει να πληροί δύο απαιτήσεις:
- Ότι ένας φορέας μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός άλλων φορέων.
- Αφήστε αυτούς τους άλλους φορείς να είναι γραμμικά ανεξάρτητοι μεταξύ τους.
Γραμμικός συνδυασμός λογισμού
Στα βασικά μαθηματικά έχουμε συνηθίσει να βλέπουμε συχνά γραμμικούς συνδυασμούς χωρίς να το συνειδητοποιούμε. Για παράδειγμα, μια γραμμή είναι ένας συνδυασμός μιας μεταβλητής σε σχέση με την άλλη, έτσι ώστε:
Αλλά οι ρίζες, οι λογάριθμοι, οι εκθετικές συναρτήσεις … δεν είναι πλέον γραμμικοί συνδυασμοί, καθώς οι αναλογίες δεν παραμένουν σταθερές για ολόκληρη τη συνάρτηση:
Έτσι, εάν μιλάμε για γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων, η δομή της εξίσωσης θα έχει την ακόλουθη μορφή:
Καθώς μιλάμε για διανύσματα και η προηγούμενη εξίσωση αναφέρεται σε μεταβλητές, για να χτίσουμε τον συνδυασμό διανυσμάτων, πρέπει μόνο να αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με διανύσματα. Αφήστε τα ακόλουθα διανύσματα:
Έτσι, μπορούμε να τα γράψουμε ως γραμμικό συνδυασμό ως εξής:
Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα μεταξύ τους.
Ελληνικό γράμμα λάμδα ενεργεί ως παράμετρος Μ στη γενική εξίσωση της γραμμής. Το λάμδα θα είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός και, εάν δεν εμφανίζεται, η τιμή του λέγεται ότι ισούται με 1.
Ότι οι φορείς είναι γραμμικά ανεξάρτητοι σημαίνει ότι κανένας από τους φορείς δεν μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Είναι γνωστό ότι οι ανεξάρτητοι φορείς αποτελούν τη βάση του χώρου και ο εξαρτώμενος φορέας ανήκει επίσης σε αυτόν τον χώρο.
Παράλληλο παράδειγμα
Υποθέτουμε ότι έχουμε τρία διανύσματα και θέλουμε να τα εκφράσουμε ως γραμμικό συνδυασμό. Γνωρίζουμε επίσης ότι κάθε φορέας προέρχεται από την ίδια κορυφή και αποτελεί την τετμημένη της κορυφής. Το γεωμετρικό σχήμα είναι παράλληλο. Δεδομένου ότι μας ενημερώνουν ότι το γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζουν αυτά τα διανύσματα είναι η τετμημένη ενός παραλληλεπίπεδου, τότε, οι φορείς οριοθετούν τις όψεις του σχήματος.
Πρώτον, πρέπει να γνωρίζουμε εάν τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά. Εάν τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά, τότε δεν μπορούμε να σχηματίσουμε έναν γραμμικό συνδυασμό από αυτούς.
Τρεις φορείς:
Πώς μπορούμε να γνωρίζουμε εάν τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά εάν δεν μας παρέχουν πληροφορίες σχετικά με τις συντεταγμένες τους;
Λοιπόν, χρησιμοποιώντας λογική. Εάν τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά, τότε όλες οι όψεις του παραλληλεπίπεδου θα καταρρεύσουν. Με άλλα λόγια, θα ήταν τα ίδια.
Επομένως, μπορούμε να εκφράσουμε ένα νέο διάνυσμα β ως αποτέλεσμα του γραμμικού συνδυασμού των προηγούμενων διανυσμάτων:
Διάνυσμα που αντιπροσωπεύει το συνδυασμό των προηγούμενων διανυσμάτων:
Γραφικά:
