Η μέθοδος των λιγότερων τετραγώνων σε δύο στάδια (LS2E) ασχολείται με το πρόβλημα της ενδογένειας μίας ή περισσότερων επεξηγηματικών μεταβλητών σε ένα μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης.
Ο κύριος στόχος του είναι να αποφευχθεί ότι μία ή περισσότερες ενδογενείς επεξηγηματικές μεταβλητές ενός μοντέλου συσχετίζονται με τον όρο σφάλματος και να είναι σε θέση να κάνουν αποτελεσματικές εκτιμήσεις των συνηθισμένων λιγότερο τετραγώνων (OLS) στο αρχικό μοντέλο. Τα εργαλεία που θα χρησιμοποιηθούν είναι οι οργανικές μεταβλητές (VI), τα δομικά μοντέλα και οι μειωμένες εξισώσεις.
Με άλλα λόγια, το MC2E μας βοηθά να κάνουμε μια εκτίμηση με εγγυήσεις όταν μία ή περισσότερες ενδογενείς επεξηγηματικές μεταβλητές συσχετίζονται με τον όρο σφάλματος και υπάρχει αποκλεισμός εξωγενών επεξηγηματικών μεταβλητών. Το MC2E αναφέρεται στη διαδικασία που πρέπει να ακολουθηθεί για τη θεραπεία αυτού του προβλήματος ενδογένειας.
- Στο πρώτο στάδιο, εφαρμόζεται ένα "φίλτρο" για την εξάλειψη της συσχέτισης με τον όρο σφάλματος.
- Στο δεύτερο στάδιο, λαμβάνονται οι προσαρμοσμένες τιμές από τις οποίες μπορούν να γίνουν καλές εκτιμήσεις OLS στη μειωμένη μορφή του αρχικού μοντέλου.
Το δομικό μοντέλο
Ένα δομικό μοντέλο αντιπροσωπεύει μια εξίσωση όπου προορίζεται να μετρήσει την αιτιώδη σχέση μεταξύ των μεταβλητών και η εστίαση είναι στους παλινδρομικούς (βι). Το μοντέλο 1 είναι μια πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση με δύο επεξηγηματικές μεταβλητές: Y2 και Ζ1
Μοντέλο 1 ⇒ Y1= β0 + β1· Υ2 + β2Ζ1 + εσύ1
Οι επεξηγηματικές μεταβλητές μπορούν να χωριστούν σε δύο τύπους: ενδογενείς επεξηγηματικές μεταβλητές και εξωγενείς επεξηγηματικές μεταβλητές. Στο Μοντέλο 1, η ενδογενής επεξηγηματική μεταβλητή είναι Ζ1 και η εξωγενής επεξηγηματική μεταβλητή είναι Y2 . Η ενδογενής μεταβλητή δίνεται από το μοντέλο (είναι το αποτέλεσμα του μοντέλου) και συσχετίζεται με το u1. Παίρνουμε την εξωγενή μεταβλητή όπως δίνεται (είναι απαραίτητο για το μοντέλο να αποβάλει ένα αποτέλεσμα) και δεν συσχετίζεται με το u1.
Διαδικασία MC2E
Στη συνέχεια, θα εξηγήσουμε λεπτομερώς τη διαδικασία για την εκτίμηση μέσω της μεθόδου των λιγότερων τετραγώνων σε δύο στάδια.
Πρώτο στάδιο
1. Υποθέτουμε ότι έχουμε δύο εξωγενείς επεξηγηματικές μεταβλητές που εξαιρούνται στο Μοντέλο 1, όπου το Ζ2 και Ζ3 . Να θυμάστε ότι έχουμε ήδη μια εξωγενή επεξηγηματική μεταβλητή στο μοντέλο 1, Z1 Επομένως, συνολικά θα έχουμε τώρα τρεις εξωγενείς επεξηγηματικές μεταβλητές: Z1 Ζ2 και Ζ3
Οι περιορισμοί αποκλεισμού είναι:
- Ζ2 και Ζ3 Δεν εμφανίζονται στο μοντέλο 1, επομένως, εξαιρούνται.
- Ζ2 και Ζ3 δεν συσχετίζονται με το σφάλμα.
2. Πρέπει να λάβουμε την εξίσωση σε μειωμένη μορφή για το Y2. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε:
- Η ενδογενής μεταβλητή Υ1 από τον Υ2 .
- Οι β παλινδρόμοιι από πι .
- Το σφάλμα u1 από v2 .
Η μειωμένη φόρμα για το Υ2 του Μοντέλου 1 είναι:
Γ2= π0 + π1Ζ1 + π2 Ζ2 + π3 Ζ3 + v2
Σε περίπτωση που Z2 και Ζ3 συσχετίζονται με το Υ2 , η μέθοδος Instrumental Variables (VI) θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί, αλλά θα καταλήξαμε σε δύο εκτιμητές VI και στην περίπτωση αυτή οι δύο εκτιμητές θα ήταν αναποτελεσματικοί ή ανακριβείς. Λέμε ότι ένας εκτιμητής είναι πιο αποτελεσματικός ή ακριβής όσο μικρότερη είναι η διακύμανση του. Ο πιο αποτελεσματικός εκτιμητής θα ήταν αυτός με τη μικρότερη δυνατή διακύμανση.
3. Υποθέτουμε ότι ο προηγούμενος γραμμικός συνδυασμός είναι η καλύτερη μεταβλητή Instrumental (VI), ονομάζουμε Y2* για εσένα2 και καταργούμε το σφάλμα (v2) από την εξίσωση:
Γ2* = π0 + π1Ζ1 + π2 Ζ2 + π3 Ζ3 + v2 ∀ π2 ≠ 0, π3 ≠ 0
Δεύτερο επίπεδο
4. Εκτελούμε την εκτίμηση OLS σχετικά με τη μειωμένη μορφή του Μοντέλου 1 παραπάνω και λαμβάνουμε τις προσαρμοσμένες τιμές (τις αντιπροσωπεύουμε με το caret “^”) Η προσαρμοσμένη τιμή είναι η εκτιμώμενη έκδοση του Y2* το οποίο με τη σειρά του δεν σχετίζεται με το u1 .
5. Λήφθηκε η προηγούμενη εκτίμηση, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως VI για το Y2 .
Περίληψη διαδικασίας
Μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων δύο σταδίων (LS2E):
- Πρώτο στάδιο: Εκτελέστε παλινδρόμηση στο μοντέλο circumflex (σημείο 4) όπου λαμβάνονται οι ακριβείς τιμές. Αυτή η προσαρμοσμένη τιμή είναι η εκτιμώμενη έκδοση του Y2* και, επομένως, δεν συσχετίζεται με το σφάλμα u1 . Η ιδέα είναι να εφαρμόσετε ένα φίλτρο μη συσχέτισης της προσαρμοσμένης τιμής με το σφάλμα u1 .
- Δεύτερο επίπεδο: Εκτελέστε παλινδρόμηση OLS στη μειωμένη μορφή του Μοντέλου 1 (σημείο 2) και λάβετε τις προσαρμοσμένες τιμές ,. Δεδομένου ότι η προσαρμοσμένη τιμή χρησιμοποιείται και όχι η αρχική τιμή (Y2) μην πανικοβληθείτε εάν οι εκτιμήσεις LS2E δεν ταιριάζουν με τις εκτιμήσεις OLS στη μειωμένη μορφή του Μοντέλου 1.