Το μοντέλο ARMA είναι ένα στάσιμο μοντέλο αυτοανάπτυξης όπου οι ανεξάρτητες μεταβλητές ακολουθούν στοχαστικές τάσεις και ο όρος σφάλματος είναι στάσιμος.
Με άλλα λόγια, το μοντέλο ARMA ενσωματώνει την αυτοσυσχέτιση και το μοντέλο κινητού μέσου όρου στην παλινδρόμηση.
Προτεινόμενα άρθρα: τυχαία θεωρία πεζοπορίας, ρυθμισμένος μέσος όρος, αυτοανάβαση.
Σημασία του ARMA
Το μοντέλο ARMA, από τα Αγγλικά, AutoRegressive Moving Average χωρίζεται σε δύο μέρη:
- Αυτοεπιθετική: Η εξαρτημένη μεταβλητή επιστρέφει στον εαυτό της σε μια χρονική περίοδοτ.
- Κινούμενος μέσος όρος: Οι αποτυχίες αντιπροσωπεύονται από τυχαίες διαδικασίες.
Μοντέλο AR
Μαθηματικά
1. Ξεκινάμε από το AR (p) autorgressive μοντέλο:
Οπου:
Με άλλα λόγια, ο όρος σφάλματος ακολουθεί μια στοχαστική διαδικασία (τυχαία μεταβλητή).
2. Καθιερώνουμε την ακόλουθη ισότητα:
4. Αντικαθιστούμε την προηγούμενη ισότητα στο AR (p) και λαμβάνουμε:
4. Ορίζουμε ένα νέο πολυώνυμο που εξαρτάται από το R:
Επειτα,
Εάν πολλαπλασιάσουμε το νέο πολυώνυμο με το Xτ και περνάμε όλες τις παραμέτρους και τους παλινδρόμους στα αριστερά του ίσου, θα λάβουμε το αρχικό AR (p).
Από το μοντέλο αυτοανάπτυξης έχουμε την τελευταία εξίσωση:
Αυτή είναι η συμβολή του αυτεπαρκτικού μοντέλου στο μοντέλο ARMA.
Κινούμενο μέσο μοντέλο
Ένα μοντέλο κινητού μέσου όρου είναι μια αυτοανάβαση όπου οι παλινδρομικοί είναι οι όροι σφάλματος κάθε περιόδουτ.
Μαθηματικά
1. Ξεκινάμε από το αυτοεπιθετικό μοντέλο AR (p) όπου οι παλινδρομικοί είναι ο όρος σφάλματος:
Όπως και το αυτοεπιθετικό μοντέλο, ο όρος σφάλματος ακολουθεί μια στοχαστική διαδικασία (τυχαία μεταβλητή) έτσι ώστε:
Το μοντέλο κινητού μέσου όρου είναι πάντα στάσιμο, δηλαδή, οι ανεξάρτητες μεταβλητές (όροι σφάλματος με καθυστέρηση) είναι τυχαίες μεταβλητές. Με άλλα λόγια, οι όροι σφάλματος της προηγούμενης περιόδου είναι ανεξάρτητοι από τους τρέχοντες όρους σφάλματος και έχουν την ίδια (ίδια) κατανομή πιθανότητας με μέση τιμή 0 και διακύμανση υπό όρους.
2. Καθιερώνουμε την ακόλουθη ισότητα:
3. Αντικαθιστούμε την προηγούμενη ισότητα στο AR (p) του όρου σφάλματος και λαμβάνουμε:
4. Ορίζουμε ένα νέο πολυώνυμο που εξαρτάται από το Ε:
Λαμβάνουμε έναν κοινό παράγοντα:
Από το μοντέλο κινητού μέσου μένει η εξίσωση του σημείου 4:
Το μοντέλο ARMA (p, q)
Μαθηματικά
Το γενικό μοντέλο αυτεπαρκτικών χρονοσειρών με κινούμενο μέσο όροΠ αυτοεπιθετικοί όροι καιτι Οι κινητοί μέσοι όροι εκφράζονται ως:
Μην πανικοβάλλεστε! Μπορούμε να απλοποιήσουμε κάτι;
Μπορείτε πάντα να απλοποιήσετε τα πράγματα. Θυμόμαστε τις εξισώσεις που έχουμε επισημάνει πριν:
Αυτοεπιθετικό μοντέλο
Κινούμενο μέσο μοντέλο
Μπορούμε λοιπόν να δούμε ότι το μοντέλο ARMA είναι απλώς ο συνδυασμός του μοντέλου αυτόματης εξόδου και του μοντέλου κινητού μέσου όρου (επισημαίνεται με κίτρινο χρώμα).