Το παράδοξο Arrow (πήρε το όνομά του από τον ιδρυτή του, τον οικονομολόγο Kenneth Arrow) είναι επίσης γνωστό ως θεώρημα αδυναμίας. Η διατύπωση του δείχνει ότι είναι αδύνατο για τις κοινωνικές εκλογές, σε αντίθεση με τις μεμονωμένες, να πληρούν ορισμένα κριτήρια ορθολογισμού και, ταυτόχρονα, να σέβονται τις βασικές δημοκρατικές αρχές.
Κατά τη διάρκεια του 20ου αιώνα, τα θεωρήματα αδυναμίας έγιναν σημαντικό μέρος των μαθηματικών. Το θεώρημα της αδυναμίας του Arrow, που διαδόθηκε στο βιβλίο του «Κοινωνική Επιλογή και Ατομικές Αξίες» (1951) είναι ένα από τα πρώτα θεωρήματα αδυναμίας εκτός των καθαρών μαθηματικών, τα οποία είχαν μεγάλο αντίκτυπο στις κοινωνικές επιστήμες.
Με αυτό, ο Arrow δημιούργησε έναν νέο κλάδο οικονομικών ευημερίας που ονομάζεται θεωρία κοινωνικής επιλογής.
Θεώρημα για τη θεωρία κοινωνικής επιλογής
Το βέλος διακρίνει μεταξύ ατομικών και συλλογικών αποφάσεων ή επιλογών. Σε διαφορετικές επιστήμες ή κλάδους (όπως η οικονομία, η κοινωνιολογία ή η πολιτική επιστήμη), είναι γενικά αποδεκτό ότι τα άτομα κάνουν ορθολογικές επιλογές.
Δηλαδή, πληρούν τα κριτήρια της μεταβατικότητας, της καθολικότητας και της αντανακλαστικότητας.
Τα κριτήρια ορθολογισμού: μεταβατικότητα, καθολικότητα και αντανακλαστικότητα
Τα τρία κριτήρια ορθολογισμού που αναφέρεται στο Arrow για να διακρίνει το άτομο από τις κοινωνικές αποφάσεις είναι η μεταβατικότητα, η καθολικότητα και η αντανακλαστικότητα. Ας δούμε τα χαρακτηριστικά καθενός από αυτά.
Μεταβατικότητα: Η μεταβατική ιδιότητα είναι μία από αυτές που χαρακτηρίζουν τις σχέσεις μεταξύ των διαφόρων στοιχείων ενός συνόλου. Ας υποθέσουμε ότι ένα άτομο (x) μπορεί να επιλέξει μεταξύ τριών επιλογών: A, B και C.
- Εάν ένα άτομο προτιμά το Α στο Β
- και ότι το ίδιο άτομο προτιμά το Β έως το Γ,
- Από τη μεταβατική ιδιότητα, προκύπτει από αυτήν την κατάσταση ότι προτιμά το Α έως το Γ.
Επομένως, η μεταβατικότητα επιτρέπει όχι μόνο σε ένα άτομο να επιλέξει την αγαπημένη του επιλογή, αλλά και να καθορίσει μια σειρά προτιμήσεων μεταξύ των διαφορετικών εναλλακτικών λύσεων που μπορεί να επιλέξει.
Καθολικότητα: Η υπόθεση καθολικότητας προϋποθέτει ότι μπορούν να γίνουν όσο το δυνατόν περισσότεροι συνδυασμοί. Έτσι, δεδομένης τριών εναλλακτικών λύσεων (Α, Β και Γ), θα ήταν δυνατοί έξι συνδυασμοί, όπως οι εξής:
- Το A είναι καλύτερο από το B.
- Το Β είναι καλύτερο από το A.
- Το Β είναι καλύτερο από το C.
- Το C είναι καλύτερο από το B.
- Το C είναι καλύτερο από το A.
- Το A είναι καλύτερο από το C.
Ανακλαστικότητα: Υποδεικνύει ότι οποιαδήποτε εναλλακτική σχετίζεται με τον εαυτό της. Για παράδειγμα:
- Ένα θα μπορούσε να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το A.
- Το Α θα μπορούσε να είναι μικρότερο ή ίσο με το A.
Δημοκρατικά κριτήρια
Εκτός από αυτά τα τρία στοιχεία, ο Kenneth Arrow προσθέτει δύο ακόμη κριτήρια, τα οποία, κατά τη γνώμη του, είναι απαραίτητα για να κατανοήσουμε ότι ένα εκλογικό μοντέλο είναι δημοκρατικό:
Χωρίς δικτατορία: Κανένα άτομο δεν μπορεί να καθορίσει τη σειρά προτιμήσεων ενός άλλου ατόμου. Δηλαδή, τα άτομα λαμβάνουν αποφάσεις ανεξάρτητα και ελεύθερα.
Χωρίς επιβολή: Τα μόνα κριτήρια για την ταξινόμηση των κοινωνικών προτιμήσεων είναι μεμονωμένες παραγγελίες, χωρίς να επιβάλλονται άλλα κριτήρια όπως η παράδοση ή οποιαδήποτε μορφή εξαναγκασμού.
Πού είναι το παράδοξο Arrow;
Ο Arrow αναρωτήθηκε αν υπάρχει δυνατότητα καθιέρωσης μιας συλλογικής διαδικασίας λήψης αποφάσεων που μπορεί να ικανοποιήσει όλες τις απαιτήσεις του ορθολογισμού και, ταυτόχρονα, να είναι δημοκρατική. Η απάντησή του ήταν αμβλύ: όχι.
Με το θεώρημα της αδυναμίας του, ο Arrow έδειξε ότι είναι αδύνατο να σχεδιαστεί μια μέθοδο ψηφοφορίας ή συλλογικής εκλογής που, σε πλαίσια στα οποία μπορεί κανείς να επιλέξει μεταξύ τριών ή περισσότερων επιλογών, πληρούνται οι παραδοχές του ορθολογισμού και, ταυτόχρονα, τα δημοκρατικά κριτήρια .
Το πρόβλημα εμφανίζεται όταν προσπαθείτε να μεταφράσετε μεμονωμένες προτιμήσεις σε κοινωνικές ή συλλογικές προτιμήσεις. Δηλαδή, όταν προσπαθείτε να οικοδομήσετε μια μέθοδο ψηφοφορίας ή εκλογής που επιτρέπει τη δημιουργία τάξης μεταξύ των διαφορετικών εναλλακτικών λύσεων σε κοινωνικό επίπεδο. Υπό αυτές τις συνθήκες, είναι πιθανό η μεταβατικότητα να εξαφανίζεται και να υποχωρεί σε κυκλικές ή αμετάβλητες σχέσεις, στις οποίες δεν είναι δυνατόν να καθοριστεί μια σειρά προτιμήσεων.
Το βέλος ξεκίνησε από αυτό που είναι γνωστό ως παράδοξο Condorcet. Κατά τη διάρκεια της Γαλλικής Επανάστασης, αυτός ο επιφανής Γάλλος φιλόσοφος και μαθηματικός επιβεβαίωσε ότι οι συλλογικές αποφάσεις δεν είναι απαραίτητα μεταβατικές, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει σε ψηφοφορία που προτιμά το Α στο Β, το Β στο Γ και, εδώ είναι το παράδοξο, C έως A.
Ένα παράδειγμα του παράδοξου του Arrow
Ας υποθέσουμε ότι μια περίπτωση στην οποία τρία άτομα η Μάρτα, η Χουάν και η Κλάρα, θέλουν να αγοράσουν ένα αυτοκίνητο και πρέπει να αποφασίσουν μεταξύ τριών χρωμάτων: Μπλε, Λευκό και Χακί. Κάθε ένα από αυτά παραγγέλνει κατά χρώματα προτίμησης, σε περίπτωση που το μοντέλο που θέλουν δεν είναι στο αγαπημένο τους χρώμα.
| Ονομα | Προτίμηση 1 | Προτίμηση 2 | Προτίμηση 3 |
|---|---|---|---|
| Μάρθα | Μπλε σε λευκό | Λευκό έως χακί | Μπλε στο Χακί |
| Χουάν | Λευκό έως χακί | Χακί στο Μπλε | Λευκό έως Μπλε |
| Σαφή | Χακί στο Μπλε | Μπλε σε λευκό | Χακί στο Λευκό |
Σε αυτό το παράδειγμα, οι ατομικές προτιμήσεις θεωρούνται μεταβατικές. Με άλλα λόγια, εάν καθένας από αυτούς επιλέξει το χρώμα του αυτοκινήτου του ξεχωριστά, εάν, όπως η Μάρτα, το Α προτιμάται από το Β και το Β στο Γ, συνεπάγεται ότι το Α προτιμάται από το C.
Ωστόσο, εάν πρόκειται για ψηφοφορία για να συλλέξουμε συλλογικά το χρώμα ενός αυτοκινήτου που πρόκειται να μοιραστούν και πληρούνται τα κριτήρια της δημοκρατίας (χωρίς δικτατορία και χωρίς επιβολή), μπορεί να συμβεί το σενάριο που φαίνεται στον πίνακα, στο ότι Η πλειοψηφία προτιμά το Α στο Β και το Β στο Γ αλλά, από την άλλη πλευρά, δεν προτιμούν το Α στο Γ. Με αυτόν τον τρόπο, το άθροισμα των μεταβατικών ατομικών προτιμήσεων είχε ως αποτέλεσμα μια αδιάλλακτη συλλογική προτίμηση.
Ποιες είναι οι επιπτώσεις όλων αυτών;
Το θεώρημα δείχνει ότι, λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις ελάχιστες υποθέσεις, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια διαδικασία που οδηγεί σε συλλογικά ορθολογική έκφραση των ατομικών επιθυμιών.
Αν και είναι πολύ τεχνικό στη δήλωσή του, το θεώρημα έχει σημαντικές συνέπειες για τις φιλοσοφίες της δημοκρατίας και της πολιτικής οικονομίας, καθώς απορρίπτει την έννοια μιας συλλογικής δημοκρατικής βούλησης, είτε προέρχεται από τη δημόσια συζήτηση είτε ερμηνεύεται από ειδικούς. Που εφαρμόζουν τη γνώση με τον καλύτερο τρόπο για ένας πληθυσμός.
Το θεώρημα αρνείται επίσης ότι μπορεί να υπάρχουν αντικειμενικές βασικές ανάγκες ή καθολικά κριτήρια που πρέπει να εφαρμόζονται σε οποιαδήποτε διαδικασία συλλογικής λήψης αποφάσεων πρέπει να αναγνωρίζει, αφού, τελικά, είναι αδύνατο να επιτευχθούν τέλειοι κανόνες.