Το πρόβλημα του Monty Hall είναι ένα πιθανό πρόβλημα εμπνευσμένο από το αμερικανικό τηλεοπτικό πρόγραμμα Let’s Make a Deal.
Το όνομα είναι εμπνευσμένο από το άτομο που παρουσίασε το πρόγραμμα: Monty Hall.
Αυτό το πρόγραμμα μεταδόθηκε μεταξύ 1963 και 1986.
Δήλωση του προβλήματος του Monty Hall
Στο πρόβλημα του Monty Hall ένας συμμετέχων παρουσιάζει τρεις πόρτες με δυνατότητα επιλογής μιας από αυτές. Δεδομένης της επιλογής σας, θα μπορούσατε να κερδίσετε το έπαθλο που κρύβεται πίσω από την πόρτα. Επομένως, πίσω από κάθε πόρτα υπάρχει μια ανταμοιβή, σε μια πόρτα υπάρχει ένα όχημα και στις άλλες δύο υπάρχει μια κατσίκα.
Αφού ο συμμετέχων επιλέξει την πόρτα, ο συντονιστής ή ο παρουσιαστής ανοίγει μία από τις υπόλοιπες δύο πόρτες. Εφόσον ο συντονιστής ξέρει τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα, ανοίγει μια που κρύβει μια κατσίκα και την δείχνει στον συμμετέχοντα.
Στη συνέχεια, σας δίνονται δύο επιλογές: 1) κρατήστε την πόρτα της επιλογής σας ή 2) αλλάξτε την αρχική σας επιλογή.
Τέλος, τίθεται το ερώτημα, είναι καλύτερο για τον συμμετέχοντα να αλλάξει ή να διατηρήσει την επιλογή του;
Λύση του προβλήματος του Monty Hall
Η απλούστερη λύση στο πρόβλημα του Monty Hall είναι διαισθητική. Η πιθανότητα επιλογής της πόρτας με το όχημα ως βραβείου είναι 1 στα 3 (⅓). Εν τω μεταξύ, οι πιθανότητες απώλειας είναι ⅔.
Δηλαδή, εάν διατηρήσετε την αρχική σας επιλογή, διατηρείτε την πιθανότητα επιτυχίας. Από την άλλη πλευρά, εάν αλλάξετε την επιλογή σας, η πιθανότητα νίκης του οχήματος αυξάνεται σε ⅔.
Επομένως, το πρόβλημα του Monty Hall δείχνει ότι ο συμμετέχων πρέπει να αλλάξει την επιλογή του για να μεγιστοποιήσει τις πιθανότητές του να επιλέξει το αυτοκίνητο.
Αυτή η κατάσταση φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα δέντρων. Η συνολική πιθανότητα βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας την πιθανότητα κάθε τμήματος. Ομοίως, στο τέλος προστίθενται οι πιθανότητες να χτυπήσουν ή να μην χτυπήσουν με την αλλαγή των θυρών. Για παράδειγμα, όταν το έπαθλο είναι στην πόρτα 1 και επιλέγουμε ένα διαφορετικό (2 ή 3), και στις δύο περιπτώσεις κερδίζεται αλλάζοντας την επιλογή. Επομένως, το να κάνετε λάθος την πρώτη φορά (που είναι η πιο πιθανή επιλογή) αυξάνει τις πιθανότητές σας να κερδίσετε αλλάζοντας την επιλογή σας. Εν τω μεταξύ, αν επιλέξετε να διατηρήσετε την αρχική σας επιλογή, οι πιθανότητες νίκης είναι οι ίδιες με την αρχή: ⅓.
Υπάρχουν επίσης πιο εκλεπτυσμένες μαθηματικές και στατιστικές μέθοδοι που δείχνουν ότι αυτό το αποτέλεσμα ισχύει. Αυτό ισχύει, ακόμη και όταν το πείραμα επαναλαμβάνεται αυξάνοντας τον αριθμό των πυλών.
Γιατί μπορούμε να πιστεύουμε ότι η διατήρηση της πρώτης επιλογής είναι η σωστή απάντηση;
Μερικοί από τους λόγους για τους οποίους ορισμένοι άνθρωποι δεν επιλέγουν την καλύτερη λύση είναι:
- Καταλαβαίνουν ότι τα γεγονότα δεν είναι ανεξάρτητα: Αυτό συμβαίνει λόγω αποτυχίας στην ερμηνεία της προσέγγισης. Σε αυτήν την περίπτωση, αγνοείται ότι η ενέργεια του συντονιστή να ανοίξει μια πόρτα εξαρτάται από την αρχική επιλογή του συμμετέχοντα.
- Εσφαλμένη κατανομή πιθανοτήτων: Η δράση του συντονιστή αλλάζει τις αρχικές αποδόσεις. Αφού ανοίξει η πόρτα, αυτή η πόρτα έχει 0 πιθανότητες να περιέχει το όχημα. Επομένως, ο συμμετέχων έχει τώρα 50% πιθανότητα να επιλέξει το αυτοκίνητο ή την αίγα στις υπόλοιπες πόρτες.