Ιδιότητες των αναμενόμενων τιμών

Η αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η έννοια ανάλογη με τη μαθηματική άλγεβρα που εξετάζει τον αριθμητικό μέσο όρο του συνόλου των παρατηρήσεων της εν λόγω μεταβλητής.

Με άλλα λόγια, η αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η τιμή που εμφανίζεται συχνότερα κατά την επανάληψη ενός πειράματος πολλές φορές.

Ιδιότητες των αναμενόμενων τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής

Η αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τρεις ιδιότητες που αναπτύσσουμε παρακάτω:

Ιδιότητα 1

Για οποιαδήποτε σταθερά g, η αναμενόμενη τιμή αυτής της σταθεράς θα εκφράζεται ως E (g) και θα είναι η ίδια σταθερά g. Μαθηματικά:

E (g) = g

Δεδομένου ότι το g είναι μια σταθερά, δηλαδή, δεν εξαρτάται από καμία μεταβλητή, η τιμή της θα παραμείνει η ίδια.

Παράδειγμα

Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή του 1; Με άλλα λόγια, ποια τιμή αποδίδουμε στον αριθμό 1;

E (1) =?

Ακριβώς, αντιστοιχίζουμε την τιμή 1 στον αριθμό 1 και η τιμή της δεν θα αλλάξει, ανεξάρτητα από το πόσο περνούν τα χρόνια ή φυσικές καταστροφές. Έτσι, έχουμε να κάνουμε με μια σταθερή μεταβλητή και επομένως:

E (1) = 1 ή E (g) = g

Μπορούν να δοκιμάσουν άλλους αριθμούς.

Ακίνητα 2

Για οποιαδήποτε σταθερά h και k, η αναμενόμενη τιμή της γραμμής h · X + k θα είναι ίση με τη σταθερά h πολλαπλασιαζόμενη με την προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής X συν τη σταθερά k. Μαθηματικά:

E (h X + k) = h E (X) + k

Κοιτάξτε προσεκτικά, δεν σας θυμίζει μια πολύ διάσημη ευθεία; Ακριβώς, η γραμμή παλινδρόμησης.

Αν αντικαταστήσουμε:

E (hX + k) = Υ

E (X) = X

k = Β₀

h = Β₁

Εχω:

Υ = Β₀ + Β₁Χ

Όταν υπολογίζονται οι συντελεστές Β₀ Β₁ , δηλαδή, Β₀ , Β₁ , αυτά παραμένουν τα ίδια για ολόκληρο το δείγμα. Εφαρμόζουμε λοιπόν την ιδιότητα 1:

Ε (Β₀) = Β₀

Ε (Β₁) = Β₁

Εδώ βρίσκουμε επίσης την ιδιότητα της αμεροληψίας, δηλαδή, η αναμενόμενη τιμή του εκτιμητή είναι ίση με την τιμή του πληθυσμού του.

Επιστρέφοντας στο E (h · X + k) = h · E (X) + k, είναι σημαντικό να θυμάστε ότι το Y είναι E (h · X + k) κατά την εξαγωγή συμπερασμάτων από τις γραμμές παλινδρόμησης. Με άλλα λόγια, θα σήμαινε ότι όταν το Χ αυξάνεται κατά ένα, το Υ αυξάνεται κατά Ήμισυ h μονάδες, αφού το Y είναι η αναμενόμενη τιμή της γραμμής h · X + k.

Ιδιότητα 3

Εάν το H είναι ένα διάνυσμα σταθερών και το X είναι ένα διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών, τότε η αναμενόμενη τιμή μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα των αναμενόμενων τιμών.

Η = (ω₁ , h_2, , …, ω_ν)

X = (Χ₁ , Χ_2, ,…, Χ_ν)

Γεια₁Χ₁ + ω₂Χ₂ +… + Η_νΧ_ν) = ω₁·ΠΡΩΗΝ₁) + ω₂·ΠΡΩΗΝ₂) +… + Η_ν·ΠΡΩΗΝ_ν)

Εκφράζεται με ποσά:

Αυτή η ιδιότητα είναι πολύ χρήσιμη για παραλλαγές στον τομέα των μαθηματικών στατιστικών.