Η αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η έννοια ανάλογη με τη μαθηματική άλγεβρα που εξετάζει τον αριθμητικό μέσο όρο του συνόλου των παρατηρήσεων της εν λόγω μεταβλητής.
Με άλλα λόγια, η αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η τιμή που εμφανίζεται συχνότερα κατά την επανάληψη ενός πειράματος πολλές φορές.
Ιδιότητες των αναμενόμενων τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής
Η αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τρεις ιδιότητες που αναπτύσσουμε παρακάτω:
Ιδιότητα 1
Για οποιαδήποτε σταθερά g, η αναμενόμενη τιμή αυτής της σταθεράς θα εκφράζεται ως E (g) και θα είναι η ίδια σταθερά g. Μαθηματικά:
E (g) = g
Δεδομένου ότι το g είναι μια σταθερά, δηλαδή, δεν εξαρτάται από καμία μεταβλητή, η τιμή της θα παραμείνει η ίδια.
Παράδειγμα
Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή του 1; Με άλλα λόγια, ποια τιμή αποδίδουμε στον αριθμό 1;
E (1) =?
Ακριβώς, αντιστοιχίζουμε την τιμή 1 στον αριθμό 1 και η τιμή της δεν θα αλλάξει, ανεξάρτητα από το πόσο περνούν τα χρόνια ή φυσικές καταστροφές. Έτσι, έχουμε να κάνουμε με μια σταθερή μεταβλητή και επομένως:
E (1) = 1 ή E (g) = g
Μπορούν να δοκιμάσουν άλλους αριθμούς.
Ακίνητα 2
Για οποιαδήποτε σταθερά h και k, η αναμενόμενη τιμή της γραμμής h · X + k θα είναι ίση με τη σταθερά h πολλαπλασιαζόμενη με την προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής X συν τη σταθερά k. Μαθηματικά:
E (h X + k) = h E (X) + k
Κοιτάξτε προσεκτικά, δεν σας θυμίζει μια πολύ διάσημη ευθεία; Ακριβώς, η γραμμή παλινδρόμησης.
Αν αντικαταστήσουμε:
E (hX + k) = Υ
E (X) = X
k = Β0
h = Β1
Εχω:
Υ = Β0 + Β1Χ
Όταν υπολογίζονται οι συντελεστές Β0 Β1 , δηλαδή, Β0 , Β1 , αυτά παραμένουν τα ίδια για ολόκληρο το δείγμα. Εφαρμόζουμε λοιπόν την ιδιότητα 1:
Ε (Β0) = Β0
Ε (Β1) = Β1
Εδώ βρίσκουμε επίσης την ιδιότητα της αμεροληψίας, δηλαδή, η αναμενόμενη τιμή του εκτιμητή είναι ίση με την τιμή του πληθυσμού του.
Επιστρέφοντας στο E (h · X + k) = h · E (X) + k, είναι σημαντικό να θυμάστε ότι το Y είναι E (h · X + k) κατά την εξαγωγή συμπερασμάτων από τις γραμμές παλινδρόμησης. Με άλλα λόγια, θα σήμαινε ότι όταν το Χ αυξάνεται κατά ένα, το Υ αυξάνεται κατά Ήμισυ h μονάδες, αφού το Y είναι η αναμενόμενη τιμή της γραμμής h · X + k.
Ιδιότητα 3
Εάν το H είναι ένα διάνυσμα σταθερών και το X είναι ένα διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών, τότε η αναμενόμενη τιμή μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα των αναμενόμενων τιμών.
Η = (ω1 , h2, , …, ων)
X = (Χ1 , Χ2, ,…, Χν)
Γεια1Χ1 + ω2Χ2 +… + ΗνΧν) = ω1·ΠΡΩΗΝ1) + ω2·ΠΡΩΗΝ2) +… + Ην·ΠΡΩΗΝν)
Εκφράζεται με ποσά:
Αυτή η ιδιότητα είναι πολύ χρήσιμη για παραλλαγές στον τομέα των μαθηματικών στατιστικών.
